第四章 方圆之法

法曰：『周髀長八尺，句之損益寸千里。故曰：極者，天廣袤也。今立表高八尺以望極，其句一丈三寸。由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。』
榮方曰：『周髀者何？』

白話翻譯
數學法典裡面說到『8尺長的立竿，太陽影子的長短變化1寸，實際距離變化就是1000里。根據這個比例關係，北極星是天最遠的地方，通過長期觀測地球北極正對北極星是不變化的。現在通過8尺高的立竿觀望北極星，人的眼睛所處位置就相當於北極的光線投影到地球大氣層天球上的水準距離，這個投影距離是1丈3寸，因此從周地觀測站到北極星的水準距離就是103000里。而北極星是在地球的南北極軸上，因此以地球北極點為圓心，那麼周地在這個平面上的水準距離也就是103000里。這在後面的周地投影到大氣層天球上的位置示意圖可以看到。
榮方問道『這個周髀到底是什麼呢？』

陳子曰：『古時天子治周，此數望之從周，故曰周髀。髀者，表也。
日夏至南萬六千里，日冬至南十三萬五千里，日中無影。以此觀之，從南至夏至之日中十一萬九千里。
北至其夜半亦然。凡徑二十三萬八千里。此夏至日道之徑也，其周七十一萬四千里。
從夏至之日中，至冬至之日中十一萬九千里。北至極下亦然。則從極南至冬至之日中二十三萬八千里。
從極北至其夜半亦然。凡徑四十七萬六千里。此冬至日道徑也，其周百四十二萬八千里。
從春秋分之日中北至極下十七萬八千五百里。從極下北至其夜半亦然。凡徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。
故曰：月之道常緣宿，日道亦與宿正_{【周髀算經】認為二十八宿諸距星系沿黃道排列，故趙爽在此注稱：『內衡之南，外衡之北，圓而成規，以為黃道，二十八宿列焉。』二十八宿體系起源時究竟是以黃道為准還是以赤道為准，一直是懸而未決的問題，【周髀算經】在這裡提供了一個極有價值的線索，但看來長期未被現代論者所注意}。南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。

白話翻譯
陳子說：古時候天子治理國家，需要創建周天曆法，因此通過觀測天地的運行規律來制定曆法，所以周是指周地，是冬至日太陽照射的極限位置，髀則是立竿測影的方法，通過在周地觀測站獲得天文資料的方法統稱為周髀。
夏至日從周地往南16000里，冬至日從周地往南135000里，中午太陽直射假定的平面而無影，從這個觀測資料看，從北極向南到太陽的距離就等於103000加上16000等於119000里。
地球在繞太陽運動，從地球上看相當於太陽圍繞地球在旋轉_{實際是地球的自轉}，也可以認為是在圍著地球的極軸在旋轉，因此其直徑就是238000里，這就是夏至日的日道，圓周率取整數為3_{週三徑一是圓周率最精確的表述，在後篇【周髀算經】數學之美進行證明}，則周長為714000里。
太陽南北運動的距離就等於冬至日與夏至日距周地的距離的差值，即135000減去16000等於119000里。
那麼冬至日太陽到北極的距離就是119000加上119000等於238000里，為半徑，同理冬至日的日道直徑就是476000里，周長是1428000里。
從春秋分之日中北至極下距離就是119000除以2加上119000等於178500里，為半徑，同理春秋分之日日道直徑就是357000里，周長是1071000里。

以地球北极为圆心绘制的日道图如下图

『春分之日夜分以至秋分之日夜分，極下常有日光_{這一點確屬觀測事實。北極半年為晝半年為夜的現象，在從古希臘一脈相傳至今的球面天文學中可以得到準確描述，而【周髀算經】在下文中也試圖在自己的宇宙模型中對該現象作出數學描述}。秋分之日夜分以至春分之日夜分，極下常無日光。故春秋分之日夜分之時，日所照適至極，陰陽之分等也。冬至、夏至者，日道發歛之所生也至，晝夜長短之所極。春秋分者，陰陽之脩，晝夜之象。晝者陽，夜者陰。春分以至秋分，晝之象。秋分至春分，夜之象。故春秋分之日中光之所照北極下，夜半日光之所照亦南至極。此日夜分之時也。
故曰：日照四旁各十六萬七千里_{『日照四旁各十六萬七千里』，意即日光輻射的最大半徑為167000里，這一資料的來源頗為費解，按上文所述春秋分日道半徑，由圖6不難看出，『日照四旁』顯然應等於春秋分日道半徑，即178500里，才能自洽合理(詳見導讀第3節論述)}。

白話翻譯
春分之日晝夜之交以至秋分之日晝夜之交，太陽處於北半球，北極極下常有日光。秋分之日晝夜之交以至春分之日晝夜之交，太陽處於南半球，北極極下常無日光。故春秋分之日晝夜之交之時，日所照射恰至南極北極下，這是陰陽相等，晝夜時間相等。地球圍繞太陽旋轉，由於赤道面與黃道面有一個夾角，因此在地球上我們觀看到的是太陽一年中是在南北運動，實際是地球在移動，因此冬至、夏至日，是地球南北移動的極限位置，由於地球在大氣層中南北移動，造成了大氣層厚度的變化，太陽照射在北半球，地球在大氣層中是向南移動，地球化氣北面大氣層變厚，焦點內移，日道收斂變短。冬至日，太陽照射在南半球，地球化氣南面大氣層變厚，地球北面北半球大氣層變薄，太陽焦點外移，日道發散變長。如圖所示。

因此夏至日北半球白天最長，黑夜最短，冬至日則相反。春秋分之日，陰陽相等，白日晝夜相等。春分以至秋分，北半球顯現的是晝之象，白天長夜晚短。秋分至春分，北半球顯現的是夜之象，白天短夜晚長。所以春秋分日日中太陽光能夠照至地球的北極點，春秋分日夜半時日光也能夠照至地球的南極點。這是日和夜相等的時日。
所以說：日光照耀之所及，向四面八方各達167000里。

『人望所見，遠近宜如日光所照。從周所望見北過極六萬四千里，南過冬至之日三萬二千里。
夏至之日中，光南過冬至之日中光四萬八千里，南過人所望見一萬六千里，北過周十五萬一千里，北過極四萬八千里。
冬至之夜半日光南不至人所見七千里，不至極下七萬一千里。
夏至之日中與夜半日光九萬六千里過極相接。
冬至之日中與夜半日光不相及十四萬二千里，不至極下七萬一千里_{【周髀算經】在推算這些資料時，始終只在二維平面上進行，而未考慮三維空間(人在地上而日在天上，天地間有八萬里的距離即使站在【周髀算經】的立場上，這一距離也是不應忽略的)}。
夏至之日正東西望，直周東西日下至周五萬九千五百九十八里半。
冬至之日正東西方不見日。以算求之，日下至周二十一萬四千五百五十七里半。
凡此數者，日道之發歛_{趙爽注又稱：『八十一者，陽數之終，日之所極。』已有數位神秘主義色彩}。冬至、夏至，觀律之數，聽鐘之音。冬至晝，夏至夜。差數及，日光所還觀之，四極徑八十一萬里，周二百四十三萬里。

白話翻譯
人的目光遠望所及，其遠近應該與太陽光照所及相同。這樣從周地北望，能夠超越北極星之外延伸64000里，也就是說目光所及最遠處是103000加上64000等於167000里。從周地向南看目光所及能夠超越日道所在位置32000里，目光所及最遠處是238000加上32000等於270000里。
夏至日的日中，向南太陽光超過冬至日道48000里，超出人的目光可見的地方16000里，那麼目光所及最遠處是238000加上48000等於286000減去16000等於270000里。向北超過周地151000里，超過北極星就是151000減去103000等於48000里。
冬至日的夜半，日光向南達不到人所見7000里，也就是說日光所照距離為270000減去7000等於263000里。向北達不到北極點71000里。
夏至日日中與夏至日夜半太陽光超過地球北極點96000里相銜接接，因此北極就有半年日光不落。
冬至日日中與冬至日夜半太陽光有142000里照不到，距離極下71000里，因此北極就有半年日光照不到。
夏至之日從周地正東西方向看去，西邊日落之處距離周地59598.5里。
冬至之日正東西方看不見太陽。通過計算，太陽落下的地方距離周地有214557.5里。
上述這些資料，是因為太陽照射地球的角度變化導致大氣層的當陽面膨脹，背陰面收斂造成的。通過冬至到夏至，一年地氣變化規律的資料，地氣變化的時間的長短的詳細的記錄。根據冬至夏至晝夜軌道的變化規律。加上太陽光照極限的觀測。我們可以得到大氣層的最大直徑為810000里，周長2430000里。
這個資料是這樣計算的，冬至日太陽軌道距地球為238000里，這是太陽焦點距地球的距離，根據春秋分日的日道處於大氣層邊緣到地球中心距離相等計算，太陽焦點距大氣層邊緣的距離為178500里，但是由於冬至日太陽光照射不到地球的北極點，相差還有11500里，從圖中可以看出這是由於地球的偏移造成的，因此太陽焦點到大氣層邊緣的距離就是178500減去11500等於167000里，那麼大氣層邊緣到地球旋轉軸的距離就是238000加上167000等於405000里，這是半徑，直徑就是810000里。這是一個大氣層外包線的極限值。

『從周至南日照處三十萬二千里，周北至日照處五十萬八千里，東西各三十九萬一千六百八十三里半。周在天中南十萬三千里，故東西矩中徑二萬六千六百三十二里有奇。周北五十萬八千里。冬至日十三萬五千里。冬至日道徑四十七萬六千里，周一百四十二萬八千里。日光四極當周東西各三十九萬一千六百八十三里有奇_{因周地不在直徑為810000里之圓的圓心上，而是偏離103000里，故有將此值以2乘之，其與810000里直徑之差≐26633里，此即『東西短中徑二萬六千六百三十二里有奇』}。』

白話翻譯
周地的位置投影到天球上，以北极为中心，在平面上表示如下图。周地投影到大气层天球上的位置示意图_{单位：万里}

從周地向南至日照極限處為405000減去周地至北極的距離103000等於302000里，向北至日照極限處則為405000加上103000等於508000里。向東、向西至日照極限處各為405000的平方減去103000的平方再開方約等於391683.5里。周地在大氣層中心偏南一側103000里的地方，所以從周地向東、西方向看要比大氣層直徑少26632里稍多一點。從圖中可以知道這個資料是405000減去391683.5等於13316.5乘以2約等於26633里。

此方圓之法。

白話翻譯
這些都是採用方圓之法獲得的天文數據。

萬物周事而圓方用焉，大匠造制而規矩設焉，或毀方而為圓，或破圓而為方。方中為圓者謂之圓方，圓中為方者謂之方圓也_{這段空洞的議論顯得頗為突兀。在『此方圓之法』下還附有『圓方圖』及『方圓圖』各一，只是一個正方形的外接圓和內接圓，沒有什麼意義，亦無法確定是否趙爽所補繪，茲刪去以省枝蔓}。

白話翻譯
萬事萬物的規律都可以通過圓方、方圓之法得到解決。大匠們創立了制度和規則，通過園內畫方或者是方內畫圓的方法，把大氣層中的時間和空間的關係轉化為數理關係。在方中畫圓叫做圓方，在圓中畫方叫做方圓。

備注
如下图，在圆形地球上观测外空任意一点，只能把地面看成一个平面，因此是一个假想的平面，这就是画一个内接圆_{地方指的就是假定平面}。天空中的观测点就只能看作是圆弧上的点通过画方形的关系求出园的半径或者直径。地面与空中就可以通过建立三角形的关系确定相互关系。太空中的点都是在做圆周运动。