第四章 方圆之法

法曰：“周髀长八尺，句之损益寸千里。故曰：极者，天广袤也。今立表高八尺以望极，其句一丈三寸。由此观之，则从周北十万三千里而至极下。”
荣方曰：“周髀者何？”

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数学法典里面说到“8尺长的立竿，太阳影子的长短变化1寸，实际距离变化就是1000里。根据这个比例关系，北极星是天最远的地方，通过长期观测地球北极正对北极星是不变化的。现在通过8尺高的立竿观望北极星，人的眼睛所处位置就相当于北极的光线投影到地球大气层天球上的水准距离，这个投影距离是1丈3寸，因此从周地观测站到北极星的水准距离就是103000里。而北极星是在地球的南北极轴上，因此以地球北极点为圆心，那么周地在这个平面上的水准距离也就是103000里。这在后面的周地投影到大气层天球上的位置示意图可以看到。
荣方问道“这个周髀到底是什么呢？”

陈子曰：“古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。
日夏至南万六千里，日冬至南十三万五千里，日中无影。以此观之，从南至夏至之日中十一万九千里。
北至其夜半亦然。凡径二十三万八千里。此夏至日道之径也，其周七十一万四千里。
从夏至之日中，至冬至之日中十一万九千里。北至极下亦然。则从极南至冬至之日中二十三万八千里。
从极北至其夜半亦然。凡径四十七万六千里。此冬至日道径也，其周百四十二万八千里。
从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里。从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里，周一百七万一千里。
故曰：月之道常缘宿，日道亦与宿正_{《周髀算经》认为二十八宿诸距星系沿黄道排列，故赵爽在此注称：“内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道，二十八宿列焉。”二十八宿体系起源时究竟是以黄道为准还是以赤道为准，一直是悬而未决的问题，《周髀算经》在这里提供了一个极有价值的线索，但看来长期未被现代论者所注意}。南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径三十五万七千里，周一百七万一千里。

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陈子说：古时候天子治理国家，需要创建周天历法，因此通过观测天地的运行规律来制定历法，所以周是指周地，是冬至日太阳照射的极限位置，髀则是立竿测影的方法，通过在周地观测站获得天文资料的方法统称为周髀。
夏至日从周地往南16000里，冬至日从周地往南135000里，中午太阳直射假定的平面而无影，从这个观测资料看，从北极向南到太阳的距离就等于103000加上16000等于119000里。
地球在绕太阳运动，从地球上看相当于太阳围绕地球在旋转_{实际是地球的自转}，也可以认为是在围着地球的极轴在旋转，因此其直径就是238000里，这就是夏至日的日道，圆周率取整数为3_{周三径一是圆周率最精确的表述，在后篇《周髀算经》数学之美进行证明}，则周长为714000里。
太阳南北运动的距离就等于冬至日与夏至日距周地的距离的差值，即135000减去16000等于119000里。
那么冬至日太阳到北极的距离就是119000加上119000等于238000里，为半径，同理冬至日的日道直径就是476000里，周长是1428000里。
从春秋分之日中北至极下距离就是119000除以2加上119000等于178500里，为半径，同理春秋分之日日道直径就是357000里，周长是1071000里。

以地球北极为圆心绘制的日道图如下图

“春分之日夜分以至秋分之日夜分，极下常有日光_{这一点确属观测事实。北极半年为昼半年为夜的现象，在从古希腊一脉相传至今的球面天文学中可以得到准确描述，而《周髀算经》在下文中也试图在自己的宇宙模型中对该现象作出数学描述}。秋分之日夜分以至春分之日夜分，极下常无日光。故春秋分之日夜分之时，日所照适至极，阴阳之分等也。冬至、夏至者，日道发敛之所生也至，昼夜长短之所极。春秋分者，阴阳之脩，昼夜之象。昼者阳，夜者阴。春分以至秋分，昼之象。秋分至春分，夜之象。故春秋分之日中光之所照北极下，夜半日光之所照亦南至极。此日夜分之时也。
故曰：日照四旁各十六万七千里_{“日照四旁各十六万七千里”，意即日光辐射的最大半径为167000里，这一资料的来源颇为费解，按上文所述春秋分日道半径，由图6不难看出，“日照四旁”显然应等于春秋分日道半径，即178500里，才能自洽合理(详见导读第3节论述)}。

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春分之日昼夜之交以至秋分之日昼夜之交，太阳处于北半球，北极极下常有日光。秋分之日昼夜之交以至春分之日昼夜之交，太阳处于南半球，北极极下常无日光。故春秋分之日昼夜之交之时，日所照射恰至南极北极下，这是阴阳相等，昼夜时间相等。地球围绕太阳旋转，由于赤道面与黄道面有一个夹角，因此在地球上我们观看到的是太阳一年中是在南北运动，实际是地球在移动，因此冬至、夏至日，是地球南北移动的极限位置，由于地球在大气层中南北移动，造成了大气层厚度的变化，太阳照射在北半球，地球在大气层中是向南移动，地球化气北面大气层变厚，焦点内移，日道收敛变短。冬至日，太阳照射在南半球，地球化气南面大气层变厚，地球北面北半球大气层变薄，太阳焦点外移，日道发散变长。如图所示。

因此夏至日北半球白天最长，黑夜最短，冬至日则相反。春秋分之日，阴阳相等，白日昼夜相等。春分以至秋分，北半球显现的是昼之象，白天长夜晚短。秋分至春分，北半球显现的是夜之象，白天短夜晚长。所以春秋分日日中太阳光能够照至地球的北极点，春秋分日夜半时日光也能够照至地球的南极点。这是日和夜相等的时日。
所以说：日光照耀之所及，向四面八方各达167000里。

“人望所见，远近宜如日光所照。从周所望见北过极六万四千里，南过冬至之日三万二千里。
夏至之日中，光南过冬至之日中光四万八千里，南过人所望见一万六千里，北过周十五万一千里，北过极四万八千里。
冬至之夜半日光南不至人所见七千里，不至极下七万一千里。
夏至之日中与夜半日光九万六千里过极相接。
冬至之日中与夜半日光不相及十四万二千里，不至极下七万一千里_{《周髀算经》在推算这些资料时，始终只在二维平面上进行，而未考虑三维空间(人在地上而日在天上，天地间有八万里的距离即使站在《周髀算经》的立场上，这一距离也是不应忽略的)}。
夏至之日正东西望，直周东西日下至周五万九千五百九十八里半。
冬至之日正东西方不见日。以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半。
凡此数者，日道之发敛_{赵爽注又称：“八十一者，阳数之终，日之所极。”已有数位神秘主义色彩}。冬至、夏至，观律之数，听钟之音。冬至昼，夏至夜。差数及，日光所还观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。

白话翻译
人的目光远望所及，其远近应该与太阳光照所及相同。这样从周地北望，能够超越北极星之外延伸64000里，也就是说目光所及最远处是103000加上64000等于167000里。从周地向南看目光所及能够超越日道所在位置32000里，目光所及最远处是238000加上32000等于270000里。
夏至日的日中，向南太阳光超过冬至日道48000里，超出人的目光可见的地方16000里，那么目光所及最远处是238000加上48000等于286000减去16000等于270000里。向北超过周地151000里，超过北极星就是151000减去103000等于48000里。
冬至日的夜半，日光向南达不到人所见7000里，也就是说日光所照距离为270000减去7000等于263000里。向北达不到北极点71000里。
夏至日日中与夏至日夜半太阳光超过地球北极点96000里相衔接接，因此北极就有半年日光不落。
冬至日日中与冬至日夜半太阳光有142000里照不到，距离极下71000里，因此北极就有半年日光照不到。
夏至之日从周地正东西方向看去，西边日落之处距离周地59598.5里。
冬至之日正东西方看不见太阳。通过计算，太阳落下的地方距离周地有214557.5里。
上述这些资料，是因为太阳照射地球的角度变化导致大气层的当阳面膨胀，背阴面收敛造成的。通过冬至到夏至，一年地气变化规律的资料，地气变化的时间的长短的详细的记录。根据冬至夏至昼夜轨道的变化规律。加上太阳光照极限的观测。我们可以得到大气层的最大直径为810000里，周长2430000里。
这个资料是这样计算的，冬至日太阳轨道距地球为238000里，这是太阳焦点距地球的距离，根据春秋分日的日道处于大气层边缘到地球中心距离相等计算，太阳焦点距大气层边缘的距离为178500里，但是由于冬至日太阳光照射不到地球的北极点，相差还有11500里，从图中可以看出这是由于地球的偏移造成的，因此太阳焦点到大气层边缘的距离就是178500减去11500等于167000里，那么大气层边缘到地球旋转轴的距离就是238000加上167000等于405000里，这是半径，直径就是810000里。这是一个大气层外包线的极限值。

“从周至南日照处三十万二千里，周北至日照处五十万八千里，东西各三十九万一千六百八十三里半。周在天中南十万三千里，故东西矩中径二万六千六百三十二里有奇。周北五十万八千里。冬至日十三万五千里。冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。日光四极当周东西各三十九万一千六百八十三里有奇_{因周地不在直径为810000里之圆的圆心上，而是偏离103000里，故有将此值以2乘之，其与810000里直径之差≐26633里，此即“东西短中径二万六千六百三十二里有奇”}。”

白话翻译
周地的位置投影到天球上，以北极为中心，在平面上表示如下图。周地投影到大气层天球上的位置示意图_{单位：万里}

从周地向南至日照极限处为405000减去周地至北极的距离103000等于302000里，向北至日照极限处则为405000加上103000等于508000里。向东、向西至日照极限处各为405000的平方减去103000的平方再开方约等于391683.5里。周地在大气层中心偏南一侧103000里的地方，所以从周地向东、西方向看要比大气层直径少26632里稍多一点。从图中可以知道这个资料是405000减去391683.5等于13316.5乘以2约等于26633里。

此方圆之法。

白话翻译
这些都是采用方圆之法获得的天文数据。

万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉，或毁方而为圆，或破圆而为方。方中为圆者谓之圆方，圆中为方者谓之方圆也_{这段空洞的议论显得颇为突兀。在“此方圆之法”下还附有“圆方图”及“方圆图”各一，只是一个正方形的外接圆和内接圆，没有什么意义，亦无法确定是否赵爽所补绘，兹删去以省枝蔓}。

白话翻译
万事万物的规律都可以通过圆方、方圆之法得到解决。大匠们创立了制度和规则，通过园内画方或者是方内画圆的方法，把大气层中的时间和空间的关系转化为数理关系。在方中画圆叫做圆方，在圆中画方叫做方圆。

备注
如下图，在圆形地球上观测外空任意一点，只能把地面看成一个平面，因此是一个假想的平面，这就是画一个内接圆_{地方指的就是假定平面}。天空中的观测点就只能看作是圆弧上的点通过画方形的关系求出园的半径或者直径。地面与空中就可以通过建立三角形的关系确定相互关系。太空中的点都是在做圆周运动。