九章算术

[西汉 - 东汉] (公元前二零六年 - 二二零年)

《方田》

（一）方田:
今有田广十五步，从十六步。问为田几何？
答曰：一亩。

（二）方田:
又有田广十二步，从十四步。问为田几何？
答曰：一百六十八步。
方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

（三 ）方田:
今有田广一里，从一里。问为田几何？
答曰：三顷七十五亩。

（四 ）方田:
又有田广二里，从三里。问为田几何？
答曰：二十二顷五十亩。
里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

（五）方田:
今有十八分之十二。问约之得几何？
答曰：三分之二。

（六）方田:
又有九十一分之四十九。问约之得几何？
答曰：十三分之七。
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

（七）方田:
今有三分之一，五分之二。问合之得几何？
答曰：十五分之十一。

（八）方田:
又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？
答曰：得一、六十三分之五十。

（九）方田:
又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？
答曰：得二、六十分之四十三。
合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。

（十）方田:
今有九分之八，减其五分之一。问余几何？
答曰：四十五分之三十一。

（十一）方田:
又有四分之三，减其三分之一。问余几何？
答曰：十二分之五。
减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。

（一二）方田:
今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？
答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

（一三）方田:
又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？
答曰：九分之八多，多六十三分之二。

（一四）方田:
又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？几何？
答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。

（一五）方田:
今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？
答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。

（一六）方田:
又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？
答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。
平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。

（一七）方田:
今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？
答曰：人得一钱、二十一分钱之四。

（一八）方田:
又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？
答曰：人得二钱、八分钱之一。
经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

（二九）方田:
今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？
答曰：三十五分步之十二。

（二O）方田:
又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？
答曰：十一分步之七。

（二一）方田:
又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？
答曰：九分步之四。
乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

（二二）方田:
今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？
答曰：十八步。

（二三）方田:
又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？
答曰：一百二十步、九分步之五。

（二四）方田:
又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？
答曰：一亩二百步、十一分步之七。
大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。

（二五）方田:
今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？
答曰：一百二十六步。

（二六）方田:
又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？
答曰：二十三步、六分步之五。
术曰：半广以乘正从。

（二七）方田:
今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？
答曰：九亩一百四十四步。

（二八）方田:
又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？
答曰：二十三亩七十步。
术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。

（二九）方田:
今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？
答曰：一亩一百三十五步。

（三O）方田:
又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？
答曰：四十六亩二百三十二步半。
术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。

（三一）方田:
今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？
答曰：七十五步。

（三二）方田:
又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？
答曰：十一亩九十步、十二分步之一。
术曰：半周半径相乘得积步。
又术曰：周径相乘，四而一。
又术曰：径自相乘，三之，四而一。
又术曰：周自相乘，十二而一。

（三三）方田:
今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？
答曰：一百二十步。

（三四）方田:
又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？
答曰：五亩六十二步、四分步之一。
术曰：以径乘周，四而一。

（三五）方田:
今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？
答曰：一亩九十七步半。

（三六）方田:
又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？
答曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。
术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

（三七）方田:
今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？
答曰：二亩五十五步。

（三八）方田:
又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？
答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。

密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。

《粟米》

粟米之法：
粟率五十；粝米三十
粺米二十七；绺米二十四
御米二十一；小䵂十三半
大䵂五十四；粝饭七十五
粺饭五十四；绺饭四十八
御饭四十二；菽、答、麻、麦各四十五
稻六十；豉六十三
飧九十；熟菽一百三半
蘖一百七十五
今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

（一） 粟米:
今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？
答曰：为粝米六升。
术曰：以粟求粝米，三之，五而一。

（二） 粟米:
今有粟二斗一升，欲为粺米。问得几何？
答曰：为粺米一斗一升、五十分升之十七。
术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。

（三） 粟米:
今有粟四斗五升，欲为绺米。问得几何？
答曰：为绺米二斗一升、五分升之三。
术曰：以粟求绺米，十二之，二十五而一。

（四） 粟米:
今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？
答曰：为御米三斗三升、五十分升之九。
术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。

（五）粟米:
今有粟一斗，欲为小䵂。问得几何？
答曰：为小䵂二升、一十分升之七。
术曰：以粟求小䵂，二十七之，百而一。

（六）粟米:
今有粟九斗八升，欲为大䵂。问得几何？
答曰：为大䵂一十斗五升、二十五分升之二十一。
术曰：以粟求大䵂，二十七之，二十五而一。

（七） 粟米:
今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？
答曰：为粝饭三斗四升半。
术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。

（八）粟米:
今有粟三斗六升，欲为粺饭。问得几何？
答曰：为粺饭三斗八升、二十五分升之二十二。
术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。

（九）粟米:
今有粟八斗六升，欲为绺饭。问得几何？
答曰：为绺饭八斗二升、二十五分升之一十四。
术曰：以粟求绺饭，二十四之，二十五而一。

（一O） 粟米:
今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？
答曰：为御饭八斗二升、二十五分升之八。
术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。

（一一） 粟米:
今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？
答曰：为菽二斗七升、一十分升之三。

（一二） 粟米:
今有粟四斗一升、太半升，欲为答。问得几何？
答曰：为答三斗七升半。

（一三）粟米:
今有粟五斗、太半升，欲为麻。问得几何？
答曰：为麻四斗五升、五分升之三。

（一四）粟米:
今有粟一十斗八升、五分升之二，欲为麦。问得几何？
答曰：为麦九斗七升、二十五分升之一十四。
术曰：以粟求菽、答、麻、麦，皆九之，十而一。

（一五）粟米:
今有粟七斗五升、七分升之四，欲为稻。问得几何？
答曰：为稻九斗、三十五分升之二十四。
术曰：以粟求稻，六之，五而一。

（一六）粟米:
今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？
答曰：为豉九斗八升、二十五分升之七。
术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

（一七）粟米:
今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？
答曰：为飧九斗九升。
术曰：以粟求飧，九之，五而一。

（一八）粟米:
今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？
答曰：为熟菽八斗二升、五分升之四。
术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。

（一九）粟米:
今有粟二斗，欲为蘖。问得几何？
答曰：为蘖七斗。
术曰：以粟求蘖，七之，二而一。

（二O）粟米:
今有粝米十五斗五升、五分升之二，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟二十五斗九升。
术曰：以粝米求粟，五之，三而一。

（二一）粟米:
今有粺米二斗，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟三斗七升、二十七分升之一。
术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

（二二）粟米:
今有绺米三斗、少半升，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟六斗三升、三十六分升之七。
术曰：以绺米求粟，二十五之，十三而一。

（二三）粟米:
今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟三十三斗三升、少半升。
术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

（二四）粟米:
今有稻一十二斗六升、一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？
答曰：为粟一十斗五升、九分升之七。
术曰：以稻求粟，五之，六而一。

（二五）粟米:
今有粝米一十九斗二升、七分升之一，欲为粺米。问得几何？
答曰：为粺米一十七斗二升、一十四分升之一十三。
术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。

（二六）粟米:
今有粝米六斗四升、五分升之三，欲为粝饭。问得几何？
答曰：为粝饭一十六斗一升半。
术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。

（二七）粟米:
今有粝饭七斗六升、七分升之四，欲为飧。问得几何？
答曰：为飧九斗一升、三十五分升之三十一。
术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。

（二八）粟米:
今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？
答曰：为熟菽二斗三升。
术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。

（二九）粟米:
今有菽二斗，欲为豉。问得几何？
答曰：为豉二斗八升。
术曰：以菽求豉，七之，五而一。

（三O）粟米:
今有麦八斗六升、七分升之三，欲为小䵂，问得几何？
答曰：为小䵂二斗五升、一十四分升之一十三。
术曰：以麦求小䵂，三之，十而一。

（三一）粟米:
今有麦一斗，欲为大䵂。问得几何？
答曰：为大䵂一斗二升。
术曰：以麦求大䵂，六之，五而一。

（三二）粟米:
今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。问枚几何？
答曰：一枚，八钱、九分钱之八。

（三三）粟米:
今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？
答曰：一个，五钱、四十七分钱之三十五。
经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一钱。

（三四）粟米:
今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升、太半升。欲斗率之，问斗几何。
答曰：一斗，三百四十五钱、五百三分钱之一十五。

（三五）粟米:
今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈几何？
答曰：一丈，一百一十八钱、六十一分钱之二。

（三六）粟米:
今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问匹几何？
答曰：一匹，二百四十四钱、一百二十九分钱之一百二十四。

（三七）粟米:
今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问石几何？
答曰：一石，八千三百二十六钱、一百九十七分钱之一百七十八。
经术术曰：以所求率乘钱数为实，以所买率为法，实如法得一。

（三八）粟米:
今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？
答曰：其四十八个，个七钱。其三十个，个八钱。

（三九）粟米:
今有出钱一千一百二十，买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之，问各几何？
答曰：其二钧八斤，斤五钱。其一石一十斤，斤六钱。

（四O）粟米:
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石率之，问各几何？
答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱。其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。

（四一）粟米:
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧率之，问各几何？
答曰：其七斤一十两九铢，钧二千一十二钱。其一石二钧二十斤八两二十铢，钧二千一十三钱。

（四二）粟米:
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤率之，问各几何？
答曰：其一石二钧七斤十两四铢，斤六十七钱。其二十斤九两一铢，斤六十八钱。

（四三）粟米:
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两率之，问各几何？
答曰：其一石一钧一十七斤一十四两一铢，两四钱。其一钧一十斤五两四铢，两五钱。
其率术曰：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法贱实贵。

（四四）粟米:
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢率之，问各几何？
答曰：其一钧二十斤六两十一铢，五铢一钱。其一石一钧七斤一十二两一十八铢，六铢一钱。

（四五）粟米:
今有出钱六百一十，买羽二千一百翭。欲其贵贱率之，问各几何？
答曰：其一千一百四十翭，三翭一钱。其九百六十翭，四翭一钱。

（四六）粟米:
今有出钱九百八十，买矢簳五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？
答曰：其三百枚，五枚一钱。其五千五百二十枚，六枚一钱。

反其率术曰：以钱数为法，所率为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法少，实多。二物各以所得多少之数乘法实，即物数。

《衰分》

衰分:
衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一。不满法者，以法命之。

（一）衰分:
今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？
答曰：大夫得一鹿、三分鹿之二。不更得一鹿、三分鹿之一。簪裹得一鹿。上造得三分鹿之二。公士得三分鹿之一。
术曰：列置爵数，各自为衰，副并为法。以五鹿乘未并者，各自为实。实如法得一鹿。

（二）衰分:
今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？
答曰：牛主出二斗八升、七分升之四。马主出一斗四升、七分升之二。羊主出七升、七分升之一。
术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。

（三）衰分:
今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？
答曰：甲出五十一钱、一百九分钱之四十一。乙出三十二钱、一百九分钱之一十二。丙出一十六钱、一百九分钱之五十六。
术曰：各置钱数为列衰，副并为法，以百钱乘未并者，各自为实，实如法得一钱。

（四）衰分:
今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？
答曰：初日织一寸、三十一分寸之十九。次日织三寸、三十一分寸之七。次日织六寸、三十一分寸之十四。次日织一尺二寸、三十一分寸之二十八。次日织二尺五寸、三十一分寸之二十五。
术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法，以五尺乘未并者，各自为实，实如法得一尺。

（五）衰分:
今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发傜三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？
答曰：北乡遣一百三十五人、一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七。西乡遣一百一十二人、一万二千一百七十五分人之四千四。南乡遣一百二十九人、一万二千一百七十五分人之八千七百九。
术曰：各置算数为列衰，副并为法，以所发傜人数乘未并者，各自为实，实如法得一人。

（六）衰分:
今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？
答曰：大夫出一斗、四分斗之一。不更出一斗。簪袅出四分斗之三。上造出四分斗之二。公士出四分斗之一。
术曰：各置所禀粟斛斗数，爵次均之，以为列衰，副并而加后来大夫亦五斗，得二十以为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。

（七）衰分:
今有禀粟五斛，五人分之，欲令三人得三，二人得二。问各几何？
答曰：三人，人得一斛一斗五升、十三分升之五。二人，人得七斗六升、十三分升之十二。
术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者，各自为实。实如法得一斛。
返衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。

（八）衰分:
今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？
答曰：大夫出八钱、一百三十七分钱之一百四。不更出一十钱、一百三十七分钱之一百三十。簪袅出一十四钱、一百三十七分钱之八十二。上造出二十一钱、一百三十七分钱之一百二十三。公士出四十三钱、一百三十七分钱之一百九。
术曰：置爵数各自为衰，而返衰之，副并为法。以百钱乘未并者各自为实。实如法得一钱。

（九）衰分:
今有甲持粟三升，乙持粝米三升，丙持粝饭三升。欲令合而分之，问各几何？
答曰：甲二升、一十分升之七。乙四升、一十分升之五。丙一升、一十分升之八。
术曰：以粟率五十、粝米率三十、粝饭率七十五为衰、而返衰之，副并为法。以九升乘未并者各自为实。实如法得一升。

（一O）衰分:
今有丝一斤，价直二百四十。今有钱一千三百二十八，问得丝几何？
答曰：五斤八两一十二铢、三分铢之四。
术曰：以一斤价数为法，以一斤乘今有钱数为实，实如法得丝数。

（一一）衰分:
今有丝一斤价直三百四十三。今有丝七两一十二铢，问得钱几何？
答曰：一百六十一钱、三十二分钱之二十三。
术曰：以一斤铢数为法，以一斤价数，乘七两一十二铢为实。实如法得钱数。

（一二）衰分:
今有缣一丈价直一百二十八。今有缣一匹九尺五寸，问得钱几何？
答曰：六百三十三钱、五分钱之三。
术曰：以一丈寸数为法，以价钱数乘今有缣寸数为实，实如法得钱数。

（一三）衰分:
今有布一匹，价直一百二十五。今有布二丈七尺，问得钱几何？
答曰：八十四钱、八钱之三。
术曰：以一匹尺数为法，今有布尺数乘价钱为实，实如法得钱数。

（一四）衰分:
今有素一匹一丈，价直六百二十五。今有钱五百，问得素几何？
答曰：四丈。
术曰：以价直为法，以一匹一丈尺数乘今有钱数为实。实如法得素数。

（一五）衰分:
今有与人丝一十四斤，约得缣一十斤。今与人丝四十五斤八两，问得缣几何？
答曰：三十二斤八两。
术曰：以一十四斤两数为法，以一十斤乘今有丝两数为实，实如法得缣数。

（一六）衰分:
今有丝一斤，耗七两。今有丝二十三斤五两，问耗几何？
答曰：一百六十三两四铢半。
术曰：以一斤展十六两为法，以七两乘今有丝两数为实，实如法得耗数。

（一七）衰分:
今有生丝三十斤，乾之，耗三斤十二两。今有干丝一十二斤，问生丝几何？
答曰：一十三斤一十一两十铢、七分铢之二。
术曰：置生丝两数，除耗数，余，以为法。三十斤乘干丝两数为实。实如法得生丝数。

（一八）衰分:
今有田一亩，收粟六升、太半升。今有田一顷二十六亩一百五十九步，问收粟几何？
答曰：八斛四斗四升、一十二分升之五。
术曰：以亩二百四十步为法，以六升、太半升乘今有田积步为实，实如法得粟数。

（一九）衰分:
今有取保一岁，价钱二千五百。今先取一千二百，问当作日几何？
答曰：一百六十九日、二十五分日之二十三。
术曰：以价钱为法，以一岁三百五十四日乘先取钱数为实，实如法得日数。

（二O）衰分:
今有贷人千钱，月息三十。今有贷人七百五十钱，九日归之，问息几何？
答曰：六钱、四分钱之三。
术曰：以月三十日，乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数，又以九日乘之，为实。实如法得一钱。

《少广》

少广:
少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。命通分者，又以分母遍乘诸分子，及已通者皆通而同之，并之为法。置所求步数，以全步积分乘之为实。实如法而一，得从步。

（一）少广:
今有田广一步半。求田一亩，问从几何？
答曰：一百六十步。
术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。

（二）少广:
今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：一百三十步、一十一分步之一十。
术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。

（三）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：一百一十五步、五分步之一。
术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。

（四）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：一百五步、一百三十七分步之一十五。
术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步。

（五）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：九十七步、四十九分步之四十七。
术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。

（六）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：九十二步、一百二十一分步之六十八。
术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步。

（七）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：八十八步、七百六十一分步之二百三十二。
术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。

（八）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。
术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

（九）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。
术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

（一O）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：七十九步、八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。

（一一）少广:
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问从几何？
答曰：七十七步、八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。
术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。

（一二）少广:
今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？
答曰：二百三十五步。

（一三）少广:
又有积二万五千二百八十一步。问为方几何？
答曰：一百五十九步。

（一四）少广:
又有积七万一千八百二十四步。问为方几何？
答曰：二百六十八步。

（一五）少广:
又有积五十六万四千七百五十二步、四分步之一。问为方几何？
答曰：七百五十一步半。

（一六）少广:
又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？
答曰：六万三千二十五步。
开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。

（一七）少广:
今有积一千五百一十八步、四分步之三。问为圆周几何？
答曰：一百三十五步。

（一八）少广:
今有积三百步。问为圆周几何？
答曰：六十步。
开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

（一九）少广:
今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？
答曰：一百二十三尺。

（二O）少广:
今有积一千九百五十三尺、八分尺之一。问为立方几何？
答曰：一十二尺半。

（二一）少广:
今有积六万三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。问为立方几何？
答曰：三十九尺、八分尺之七。

（二二）少广:
又有积一百九十三万七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。问为立方几何？
答曰：一百二十四尺、太半尺。
开立方术曰：置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

（二三）少广:
今有积四千五百尺。问为立圆径几何？
答曰：二十尺。

（二四）少广:
又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？
答曰：一万四千三百尺。
开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。

《商功》

（一）商功:
今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几何？
答曰：为坚七千五百尺。为壤一万二千五百尺。
术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。
城、垣、堤、沟、聢、渠，皆同术。
术曰：并上下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺。

（二）商功:
今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？
答曰：一百八十九万七千五百尺。

（三）商功:
今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？
答曰：六千七百七十四尺。

（四）商功:
今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？
答曰：七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺。问用徒几何？
答曰：一十六人、一百一十一分人之二。
术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。

（五）商功:
今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？
答曰：四千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。问用徒几何？
答曰：七人、三千六十四分人之四百二十七。
术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数。

（六）商功:
今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问积几何？
答曰：一万九百四十三尺八寸。
夏程人功八百七十一尺。并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半，定功二百三十二尺、一十五分尺之四。问用徒几何？
答曰：四十七人、三千四百八十四分人之四百九。
术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数。

（七）商功:
今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？
答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺，问用徒几何？
答曰：三万三千五百八十二人功。内少一十四尺四寸。
一千人先到，问当受袤几何？
答曰：一百五十四丈三尺二寸、八十一分寸之八。
术曰：以一人功尺数，乘先到人数为实。并渠上下广而半之，以深乘之为法。实如法得袤尺。

（八）商功:
今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？
答曰：三千八百四十尺。
术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。

（九）商功:
今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？
答曰：二千一百一十二尺。
术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。

（一O）商功:
今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？
答曰：一十万一千六百六十六尺、太半尺。
术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。

（一一）商功:
今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？
答曰：五百二十七尺、九分尺之七。
术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。

（一二）商功:
今有方锥下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？
答曰：七千四十七尺。
术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。

（一三）商功:
今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？
答曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。
术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。

（一四）商功:
今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？
答曰：四万六千五百尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。

（一五）商功:
今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？
答曰：九十三尺、少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。

（一六）商功:
今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问积几何？
答曰：二十三尺、少半尺。
术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。

（一七）商功:
今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何？
答曰：八十四尺。
术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。

（一八）商功:
今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？
答曰：五千尺。
术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。
刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。
术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。

（一九）商功:
今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问积几何？
答曰：二万六千五百尺。

（二O）商功:
今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几何？
答曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。

（二一）商功:
今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？
答曰：七万六百六十六尺、太半尺。
负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟蹰之间十加一，载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问人到、积尺、用徒各几何？
答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。
术曰：以一笼积尺乘程行步数为实。往来上下，棚除二当平道五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。

（二二）商功:
今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺。问积几何？
答曰：五万二千尺。
载土往来二百步，载输之间一里，程行五十八里，六人共车，车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几何？
答曰：人到二百一尺、五十分尺之十三。用徒二百五十八人、一万六十三分人之三千七百四十六。
术曰：以一车积尺乘程行步数为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。

（二三）商功:
今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？
答曰：积八千尺。为粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。

（二四）商功:
今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？
答曰：积三百五十尺。为菽一百四十四斛、二百四十三分斛之八。

（二五）商功:
今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米几何？
答曰：积三十五尺、九分尺之五。为米二十一斛，七百二十九分斛之六百九十一。
委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣内角者，九而一。
程粟一斛，积二尺七寸。其米一斛，积一尺六寸、五分寸之一。其菽、答、麻、麦一斛，皆二尺四寸、十分寸之三。

（二六）商功:
今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地下广几何？
答曰：三尺、五分尺之三。
术曰：置垣积尺，四之为实。以深、袤相乘，又三之，为法。所得倍之，减上广，余即下广。

（二七）商功:
今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？
答曰：二丈。
术曰：置粟一万斛积尺为实。广袤相乘为法。实如法而一，得高尺。

（二八）商功:
今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛。问周几何？
答曰：五丈四尺。
术曰：置米积尺，以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周。

《均输》

（一）均输:今有均输粟：甲县一万户，行道八日；乙县九千五百户，行道十日；丙县一万二千三百五十户，行道十三日；丁县一万二千二百户，行道二十日，各到输所。凡四县赋，当输二十五万斛，用车一万乘。欲以道里远近，户数多少，衰出之。问粟、车各几何？

答曰：甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘。乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘。丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。

均输术曰：令县户数，各如其本行道日数而一，以为衰。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟、车数乘未并者，各自为实。实如法得一车。有分者，上下辈之。以二十五斛乘车数，即粟数。

（二）均输:今有均输卒：甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人，行道一日；丙县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十人，行道五日。凡五县，赋输卒一月一千二百人。欲以远近、户率，多少衰出之。问县各几何？

答曰：甲县二百二十九人。乙县二百八十六人。丙县二百二十八人。丁县一百七十一人。戊县二百八十六人。

术曰：令县卒，各如其居所及行道日数而一，以为衰。甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并为法。以人数乘未并者各自为实。实如法而一。有分者，上下辈之。

（三）均输:今有均赋粟：甲县二万五百二十户，粟一斛二十钱，自输其县；乙县一万二千三百一十二户，粟一斛一十钱，至输所二百里；丙县七千一百八十二户，粟一斛一十二钱，至输所一百五十里；丁县一万三千三百三十八户，粟一斛一十七钱，至输所二百五十里；戊县五千一百三十户，粟一斛一十三钱，至输所一百五十里。凡五县赋，输粟一万斛。一车载二十五斛，与僦一里一钱。欲以县户输粟，令费劳等。问县各粟几何？

答曰：甲县三千五百七十一斛、二千八百七十三分斛之五百一十七。乙县二千三百八十斛、二千八百七十三分斛之二千二百六十。丙县一千三百八十八斛、二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛、二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛、二千八百七十三分斛之二千二百五十三。

术曰：以一里僦价，乘至输所里，以一车二十五斛除之，加一斛粟价，则致一斛之费。各以约其户数，为衰。甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十，副并为法。所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一。

（四）均输:今有均赋粟，甲县四万二千算，粟一斛二十，自输其县；乙县三万四千二百七十二算，粟一斛一十八，佣价一日一十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百二十八算，粟一斛一十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七百算，粟一斛一十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十算，粟一斛一十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；己县一万九千一百三十六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县赋粟六万斛，皆输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之间各一日。粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等。问县各粟几何？

答曰：甲县一万八千九百四十七斛、一百三十三分斛之四十九。乙县一万八百二十七斛、一百三十三分斛之九。丙县七千二百一十八斛、一百三十三分斛之六。丁县六千七百六十六斛、一百三十三分斛之一百二十二。戊县九千二十二斛、一百三十三分斛之七十四。己县七千二百一十八斛、一百三十三分斛之六。

术曰：以车程行空、重相乘为法，并空、重以乘道里，各自为实，实如法得一日。加载输各一日，而以六人乘之，又以佣价乘之，以二十五斛除之，加一斛粟价，即致一斛之费。各以约其算数为衰，副并为法，以所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一斛。

（五）均输:今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为粺米，一人为凿米，令米数等。问取粟为米各几何？

答曰：粝米取粟二斗、一百二十一分斗之一十。粺米取粟二斗、一百二十一分斗之三十八。凿米取粟二斗、一百二十一分斗之七十三。为米各一斗、六百五分斗之一百五十一。

术曰：列置粝米三十，粺米二十七，凿米二十四，而反衰之，副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。若求米等者，以本率各乘定所取粟为实，以粟率五十为法，实如法得一斗。

（六）均输:今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？

答曰：米五斗一升、七分升之三。菽一斛二升、七分升之六。

术曰：置米一、菽二求为粟之数。并之得三、九分之八，以为法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。

（七）均输:今有取佣负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升、少半升，行八十里。问与钱几何？

答曰：二十七钱、十五分钱之十一。

术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之，为实。实如法得一钱。

（八）均输:今有负笼重一石一十七斤，行七十六步，五十返。今负笼重一石，行百步，问返几何？

答曰：四十三返、六十分返之二十三。

术曰：以今所行步数乘今笼重斤数为法，故笼重斤数乘故步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。

（九）均输:今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里。今载太仓粟输上林，五日三返。问太仓去上林几何？

答曰：四十八里、十八分里之十一。

术曰：并空、重里数，以三返乘之，为法。令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里。

（一O）均输:今有络丝一斤为练丝一十二两，练丝一斤为青丝一斤十二铢。今有青丝一斤，问本络丝几何？

答曰：一斤四两一十六铢、三十三分铢之十六。

术曰：以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤两数，又以络丝一斤乘之，为实。实如法得一斤。

（一一）
均输:今有恶粟二十斗，舂之，得粝米九斗。今欲求粺米十斗，问恶粟几何？

答曰：二十四斗六升、八十一分升之七十四。

术曰：置粝米九斗，以九乘之，为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。

（一二）均输:今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？

答曰：二百五十步。

术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者之一百步，乘不善行者先行一百步，为实。实如法得一步。

（一三）均输:今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善行者几何里及之？

答曰：三十三里、少半里。

术曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善行者先行一十里，乘善行者一百里，为实。实如法得一里。

（一四）均输:今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行几何步及之？

答曰：一百七步、七分步之一。

术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘犬追步数为实，实如法得一步。

（一五）均输:今有人持金十二斤出关。关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。问金一斤值钱几何？

答曰：六千二百五十。

术曰：以一十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以一十乘五千为实。实如法得一钱。

（一六）均输:今有客马日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还，至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何？

答曰：七百八十里。

术曰：置四分日之三，除三分日之一，半其余以为法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，为实。实如法，得主人马一日行。

（一七）均输:今有金棰，长五尺。斩本一尺，重四斤。斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何？

答曰：末一尺，重二斤。次一尺，重二斤八两。次一尺，重三斤。次一尺，重三斤八两。次一尺，重四斤。

术曰：令末重减本重，余即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。副置，以差率减之，每尺各自为衰。副置下第一衰以为法，以本重四斤遍乘列衰，各自为实。实如法得一斤。

（一八）均输:今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问各得几何？

答曰：甲得一钱、六分钱之二，乙得一钱、六分钱之一，丙得一钱，丁得六分钱之五，戊得六分钱之四。

术曰：置钱锥行衰，并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者各自为实。实如法得一钱。

（一九）均输:今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容各多少？

答曰：下初，一升、六十六分升之二十九，次一升、六十六分升之二十二，次一升、六十六分升之一十五，次一升、六十六分升之八，次一升、六十六分升之一，次六十六分升之六十，次六十六分升之五十三，次六十六分升之四十六，次六十六分升之三十九。

术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。上下率以少减多，余为实。置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升，即衰相去也。下率，一升、少半升者，下第二节容也。

（二O）均输:今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起。问何日相逢？

答曰：三日、十六分日之十五。

术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。

（二一）均输:今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问几何日相逢？

答曰：二日、十二分日之一。

术曰：并五日、七日以为法。以乙先发二日减七日，余，以乘甲日数为实。实如法得一日。

（二二）均输:今有一人一日为牡瓦三十八枚，一人一日为牝瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？

答曰：二十五枚、少半枚。

术曰：并牝、牡为法，牝牡相乘为实，实如法得一枚。

（二三）均输:今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日筈矢十五。今令一人一日自矫、羽、筈，问成矢几何？

答曰：八矢、少半矢。

术曰：矫矢五十，用徒一人。羽矢五十，用徒一人、太半人。筈矢五十，用徒三人、少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。

（二四）均输:今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一百，问田几何？

答曰：一顷二十七亩、四十七分亩之三十一。

术曰：置亩数及钱数，令亩数互乘钱数，并以为法。亩数相乘，又以百钱乘之，为实。实如法得一亩。

（二五）均输:今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一人一日自发、耕、耰种之，问治田几何？

答曰：一亩一百一十四步、七十一分步之六十六。

术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数，并以为法。亩数相乘为实。实如法得一亩。

（二六）均输:今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满；次，一日一满；次，二日半一满；次，三日一满；次，五日一满。今皆决之，问几何日满池？

答曰：七十四分日之十五。

术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。以一日为实。实如法得一日。其一术，列置日数及满数，今日互相乘满，并以为法，日数相乘为实，实如法得一日。

（二七）均输:今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问本持米几何？

答曰：十斗九升、八分升之三。

术曰：置米五斗。以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、六相乘为法。实如法得一斗。

（二八）均输:今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？

答曰：一斤三两四铢、五分铢之四。

术曰：置一斤，通所税者以乘之为实。亦通其不税者以减所通，余为法。实如法得一斤。

《盈不足》

（一）盈不足:今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？

答曰：七人，物价五十三。

（二）盈不足:今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？

答曰：九人，鸡价七十。

（三）盈不足:今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？

答曰：四十二人，琎价十七。

（四）盈不足:今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问家数、牛价各几何？

答曰：一百二十六家，牛价三千七百五十。

盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者，通之。盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。

其一术曰：并盈不足为实。以所出率以少减多，余为法。实如法得一人。以所出率乘之，减盈、增不足即物价。

（五）盈不足:今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？

答曰：三十三人。金价九千八百。

（六）盈不足:今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？

答曰：二十一人，羊价一百五十。

两盈、两不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者通之。两盈、两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法实，实为物价，法为人数。

其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足，以少减多，余为实。实如法而一得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。

（七）盈不足:今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？

答曰：一十人，豕价九百。

（八）盈不足:今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数、犬价各几何？

答曰：二人，犬价一百。

盈、适足，不足、适足术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。其求物价者，以适足乘人数得物价。

（九）盈不足:今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问故米几何？

答曰：二斗五升。

术曰：以盈不足术求之，假令故米二斗，不足二升。令之三斗，有余二升。

（十）盈不足:今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸。瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？

答曰：五日、十七分日之五。瓜长三尺七寸、十七分寸之一，瓠长五尺二寸、十七分寸之十六。

术曰：假令五日，不足五寸。令之六日，有余一尺二寸。

（一一）盈不足:今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？

答曰：二日、十三分日之六。各长四尺八寸、十三分寸之六。

术曰：假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有余一尺七寸半。

（一二）盈不足:今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？

答曰：二日、十七分日之二。大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二，小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。

术曰：假令二日，不足五寸。令之三日，有余三尺七寸半。

（一三）盈不足:今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。问醇、行酒各得几何？

答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半。

术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。

（一四）盈不足:今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛。问大、小器各容几何？

答曰：大器容二十四分斛之十三，小器容二十四分斛之七。

术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。

（一五）盈不足:今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。问出漆、得油、和漆各几何？

答曰：出漆一斗一升、四分升之一，得油一斗五升，和漆一斗八升，四分升之三。

术曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有余二升。

（一六）盈不足:今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问玉、石重各几何？

答曰：玉一十四寸，重六斤二两。石一十三寸，重四斤十四两。

术曰：假令皆玉，多十三两。令之皆石，不足十四两。不足为玉，多为石。各以一寸之重乘之，得玉石之积重。

（一七）盈不足:今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善、恶田各几何？

答曰：善田一十二亩半，恶田八十七亩半。

术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱、七分钱之二。令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱、七分钱之三。

（一八）盈不足:今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等。交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？

答曰：金重二斤三两一十八铢，银重一斤十三两六铢。

术曰：假令黄金三斤，白银二斤、一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金二斤，白银一斤、一十一分斤之七，多一十五于左行。以分母各乘其行内之数，以盈不足维乘所出率，并以为实。并盈不足为法。实如法，得黄金重。分母乘法以除，得银重。约之得分也。

（一九）盈不足:今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？

答曰：一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。良马行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。驽马行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。

术曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分。

（二O）盈不足:今有人持钱之蜀，贾利十三。初返归一万四千，次返归一万三千，次返归一万二千，次返归一万一千，后返归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问本持钱及利各几何？

答曰：本三万四百六十八钱、三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六。利二万九千五百三十一钱、三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。

术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半。令之四万，多三万五千三百九十钱八分。

《方程》

（一）方程:今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。

方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。

（二）方程:今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一。

术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过一十斗也。益实一斗者，其实不满一十斗也。

（三）方程:今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉实二十五分斗之九，中禾一秉实二十五分斗之七，下禾一秉实二十五分斗之四。

术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。

正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。

（四）方程:今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉五升，下禾一秉二升。

术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。

（五）方程:今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉实八升，下禾一秉实三升。

术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术人之。

（六）方程:今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？

答曰：上禾一秉实八斗，下禾一秉实三斗。

术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。

（七）方程:今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五直金八两。问牛羊各直金几何？

答曰：牛一，直金一两、二十一分两之一十三，羊一，直金二十一分两之二十。

术曰：如方程。

（八）方程:今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？

答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。

术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。

（九）方程:今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？

答曰：雀重一两、一十九分两之十三，燕重一两、一十九分两之五。

术曰：如方程，交易质之，各重八两。

（一O）方程:今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？

答曰：甲持三十七钱半，乙持二十五钱。

术曰：如方程，损益之。

（一一）方程:今有二马、一牛价过一万，如半马之价。一马、二牛价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？

答曰：马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。

术曰：如方程，损益之。

（一二）方程:今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？

答曰：武马一匹力引二十二石、七分石之六，中马一匹力引十七石、七分石之一，下马一匹力引五石、七分石之五。

术曰：如方程各置所借，以正负术入之。

（一三）方程:今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？

答曰：井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺五寸，乙绠长一丈九尺一寸，丙绠长一丈四尺八寸，丁绠长一丈二尺九寸，戊绠长七尺六寸。

术曰：如方程，以正负术入之。

（一四）方程:今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何？

答曰：白禾一步实一百一十一分斗之三十三，青禾一步实一百一十一分斗之二十八，黄禾一步实一百一十一分斗之一十七，黑禾一步实一百一十一分斗之一十。

术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。

（一五）方程:今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过于石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？

答曰：甲禾一秉重二十三分石之十七，乙禾一秉重二十三分石之十一，丙禾一秉重二十三分石之十。

术曰：如方程，置重过于石之物为负。以正负术入之。

（一六）方程:今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何？

答曰：令一人食一百二十二分鸡之四十五，吏一人食一百二十二分鸡之四十一，从者一人食一百二十二分鸡之九十七。

术曰：如方程，以正负术入之。

（一七）方程:今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？

答曰：羊价一百七十七，犬价一百二十一，鸡价二十三，兔价二十九。

术曰：如方程，以正负术入之。

（一八）方程:今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、答二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、答五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、答六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、答九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、答八斗、黍五斗，直钱九十五。问一斗直几何？

答曰：麻一斗七钱，麦一斗四钱，菽一斗三钱，答一斗五钱，黍一斗六钱。

术曰：如方程，以正负术入之。

《勾股》

（一）勾股:
今有勾三尺，股四尺，问为弦几何？
答曰：五尺。

（二）勾股:
今有弦五尺，勾三尺，问为股几何？
答曰：四尺。

（三）勾股:
今有股四尺，弦五尺，问为勾几何？
答曰：三尺。
勾股术曰：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。
又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾。
又勾自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股。

（四）勾股:
今有圆材径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸。问广几何？
答曰：二尺四寸。
术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘减之，其余开方除之，即广。

（五）勾股:
今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？
答曰：二丈九尺。
术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦。弦者，葛之长。

（六）勾股:
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？
答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。
术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。

（七）勾股:
今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？
答曰：一丈二尺、六分尺之一。
术曰：以去本自乘，令如委数而一，所得，加委地数而半之，即索长。

（八）勾股:
今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木几何？
答曰：五丈五寸。
术曰：以垣高十尺自乘，如却行尺数而一，所得，以加却行尺数而半之，即木长数。

（九）勾股:
今有圆材，埋在壁中，不知大小。以鐻鐻之，深一寸，鐻道长一尺。问径几何？
答曰：材径二尺六寸。
术曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。

（一O）勾股:
今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？
答曰：一丈一寸。
术曰：以去阃一尺自乘，所得，以不合二寸半之而一，所得，增不合之半，即得门广。

（一一）勾股:
今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？
答曰：广二尺八寸；高九尺六寸。
术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实，半其余。以开方除之，所得，减相多之半，即户广。加相多之半，即户高。

（一二）勾股:
今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、袤各几何？
答曰：广六尺，高八尺，袤一丈。
术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之。所得加从不出即户广，加横不出即户高，两不出加之，得户袤。

（一三）勾股:
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？
答曰：四尺、二十分尺之十一。
术曰：以去本自乘，令如高而一，所得，以减竹高而半其余，即折者之高也。

（一四）勾股:
今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲乙行各几何？
答曰：乙东行一十步半；甲邪行一十四步半及之。
术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。

（一五）勾股:
今有勾五步，股十二步。问勾中容方几何？
答曰：方三步、十七分步之九。
术曰：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步。

（一六）勾股:
今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何？
答曰：六步。
术曰：八步为勾，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以勾乘股，倍之为实。实如法得径一步。

（一七）勾股:
今有邑方二百步，各中开门。出东门十五步有木。问出南门几何步而见木？
答曰：六百六十六步、太半步。
术曰：出东门步数为法，半邑方自乘为实，实如法得一步。

（一八）勾股:
今有邑，东西七里，南北九里，各中开门。出东门十五里有木。问出南门几何步而见木？
答曰：三百一十五步。
术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。

（一九）勾股:
今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问邑方几何？
答曰：一里。
术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。

（二O）勾股:
今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？
答曰：二百五十步。
术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。并出南门步数为从法，开方除之，即邑方。

（二一）勾股:
今有邑方十里，各中开门。甲乙俱从邑中央而出。乙东出；甲南出，出门不知步数，邪向东北磨邑，适与乙会。率甲行五，乙行三。问甲、乙行各几何？
答曰：甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙。乙东行四千三百一十二步半。
术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率。邪行率减于五自乘者，余，为南行率。以三乘五，为乙东行率。置邑方半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。以增邑方半，即南行。置南行步求弦者，以邪行率乘之，求东者以东行率乘之，各自为实。实如南行率得一步。

（二二）勾股:
有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？
答曰：三十三丈三尺三寸、少半寸。
术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。

（二三）勾股:
有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？
答曰：一百六十四丈九尺六寸、太半寸。
术曰：置木高减人目高七尺，余，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一，所得，加木高即山高。

（二四）勾股:
今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问井深几何？
答曰：五丈七尺五寸。
术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实。以入径四寸为法。实如法得一寸。

博大精深