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來源: 牧夫天文網 汪萊對球面三角形的解法及方程理論有獨創。汪萊 （1768―1813年），字孝嬰，號衡齋，安徽歙縣人。博覽群書，尤好數學，與焦循、李銳交好。嘉慶十年（1805年）時，3人恰都在揚州，終日切磋學問，人稱『談天三友』，所撰數學專著為【衡齋算學】7冊。【衡齋遺書】9卷中跡有數學研究文章。
【衡齋算學】第一冊討論球面三角形的解法。第二冊闡述勾股形已知面積及勾弦和求各數之法。第三冊討論在已知全弧通弦情況下求1/5弧通弦之法。第四冊的前半部分仍討論球面三球形解法，後半部分討論【遞兼數理】。第五冊討論二次方程、三次方程正極個數。第六冊討論在已知全弦通弦條件下解求1/3通弦之法。第七冊專論方程有無正根的條件與解法。
汪氏對球面三角形的解法和方程理論的研究工作是有成績的，而在方程論方面的貢獻更是主要的。另外，在第四冊的 【遞兼數理】中，所論排列、組合的概念及排列數和組合數的計算法；在 【衡齋遺書】中之【參兩算經】篇中所論二進制、三進制乃至九進制的概念與算法，均為中國數學中首次討論的問題。開拓性研究成果於此可見。
李銳在數學領域的貢獻並不遜色於在天文曆法領域的成就。他的數學著作共4種： 【勾股算術細草】1卷、【方程新術草】1卷、【弧矢算術細草】1卷、【開方說】3卷。此外，李銳還撰【測圓海鏡細草】，是為在四庫館員校訂基礎上，對李治【測圓海鏡】重加詳細校算訂正之作，收在【知不足齋叢書】第二十集中。
李氏的【開方說】是他數學研究的代表作，是中國方程理論專著。在對李治、秦九韶等宋元數學家著作的整理過程中，李氏對方程論產生興趣，而汪萊對方程正根個數的討論，又推動了他深入研究。應該說，汪萊【衡齋算學】第五冊和第七冊是【開方說】形成的基礎。李氏在方程論方面的貢獻包括：第一，總結出數字方程所具有的正根個數等於其係數符號序列變化數或比此數少2，等於提出了方程正根個數判定的符號法則；第二，把正根以外適合方程之解稱為『無數』，明確提出『凡無數必兩，無一無數者』；第三，討論了整數範圍內二次方程與雙二次方程無實根的判別條件；第四，引入負根和重根概念；第五，對於宋元時期方程變形法如倍根、縮根、減根、負根等變換，予以充實和完善；第六，首創『代開法』，即先求一根首位，繼由變形方程求余位數字乃至余根。
李銳的成就在【續疇人傳】中受到很高的評價。羅士琳評價『談天三友』，稱汪萊『期於引申古人所未言，故所論多創，創則或失於執』；稱焦循『期於闡發古人所已言，故所論多因，因則或失於平』；惟李銳『兼二子之長，不執不平，於實事中匪特求是，尤復求精，此所以較勝於二子也』。 |
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