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來源: 中華網論壇 【九章算術】是中國流傳至今最古老的數學經典著作之一。作者不詳，寫作的年代也無法確定。雖然它比【周髀算經】更為完善和先進，但人們推定【九章算術】的年代卻比【周髀算經】更早。這真是有點奇怪。【周禮•保氏】中就說王子們必須學習『九數』，東漢末年的經學家鄭玄作注，其內容與【九章算術】的篇名幾乎完全相同。鄭玄雖然是經學家，但他的算學水平絕對是一流的，當時就是因為他曾幫助老師經學大師馬融解決了一道數學難題，馬融才將所有的學問傳給了他。至於【九章算術】是否就是『九數』，尚須進一步討論。
【九章算術】其實就是研究九個問題的習題集。每道題有問有答有術（解決方法），有的是一題一術，有的是多題一術，有的則是一題多術，全書九章，涉及的都是現實生活中的實際應用問題。第一章，講『方田』，38個問題21種解決方法，主要論述了各種平面圖形的地畝面計算法及分數的運算法則。其中平面圖形有方田（長方形田地）、圭田（等腰三角形田地）、邪田（直角梯形田地）、箕田（等腰梯形田地）、圓田（圓形田地）、宛田（球冠行田地）、弧田（弓形田地）、環田（圓環或環缺形田地）的面積算法，除宛田、弧田採用近似計算法外，其他各種圖形的面積算法都是正確無誤的。其中分數運算法則包括約分術（約分）、合分術（分數加法）、減分術（分數減法）、課分術（分數比較大小）、平分術（求分數的平均值）、經分術（分數除法）、乘分術（分數乘法）及大廣田術（帶分數乘法）。
第二章，講『粟米』，46問33術，主要論述了二十種穀物、米或飯的兌換比率及四項比例算法。其四項比例算法當時稱為『今有術』。前31問都是用四項比例算法計算的穀物兌換問題，後15問則是以錢買物的問題，再後15問中共列四術，即經率術、經術術、其率術和反其率術，這四術都是四項比例算法的特殊情況。這很有點像經濟學的雛形。
第三章衰分，20問22術，主要論述比例分配，包括質量不一的貨物的稅收問題，還有算術級數和幾何級數方面的其他問題。所有這些都是用比例法解決的。
第四章少廣，24問16術，論述的是開平方、開立方的問題。
第五章商功，28問24術，討論立體圖形，如稜柱、圓柱、稜錐、圓錐、圓台、四面體、楔形的體積測量和計算，所考慮的有牆、城牆、堤防、水道和河流。
第六章均輸，28問28術，主要討論如何按照人口多少、路途遠近、穀物貴賤平均繳納、運輸賦稅或攤派徭役的問題。
第七章盈不足，20問17術，主要論述盈虧問題的解法。
第八章方程，18問19術，研究聯立線性方程，還用到正數和負數。研究中國古代科學技術史的專家英國李約瑟認為，這是在人類文明中最早出現負量的概念。（不過這跟我們現代數學中的負數在理念上還是有差別的，這時的負數是藉助於經濟上的虧欠形成的，正負數的運算也可能是由於需要產生的，而不是現代數理論上的負數。）本章最後涉及的四個方程和五個未知數的問題，是不定方程的前身。
第九章勾股，24問22術，這裡用代數方法深入細緻地論述了【周髀算經】中已經提到過的直角三角形的性質。
九章合計共246問202術。涉及到社會生產生活的方方面面。
也正像一般學者所研究的那樣，這些數學知識雖然有的方面非常發達，但其所面對的問題都是現實生活中的實際問題，因此很多都是在解決具體的問題中達到非常精微的地步，但卻沒有一套知識系列，將數學的各種知識系統化。這是中國古代數學的一大特徵。另外一個特徵就是，比較擅長運用代數來解決問題，即使是幾何問題，通常也是轉化為代數問題，前面所提到的關於直角三角形的討論，也只不過是一個媒介，最終還是會引到代數上來。
雖然我們不能說【周髀算經】和【九章算術】準確地反映了先秦時代的數學水平，但基於此，我們似乎可以逆想，西周時代的數學知識的狀況如何。而西周的那些『國子』們，所面對的數學知識面也就不難想象了。
其實，那個時期經常用到數學運算的可能還不是丈量土地，修建工程之類的事情，而是占卜中需要用數學來計算重卦和蓍草的數目，尤其是後者，是一套比較繁瑣的程序中，需要相當的數學能力。凡祭祀、出行、婚喪、訪友、行軍打仗等等都會事先占卜，以求吉凶，可見這類事情要比測量土地、徵收賦稅之類的事情頻繁多了。
據前文所述，那個時期的數學似乎很複雜，但實際上似乎又沒有這麼複雜，因為他跟『書』一樣，是小學的科目。作為小學的科目，估計不會涉及所謂的方程、比例等較複雜的知識。而且，很複雜的分數運算一般都是用來解決天文曆法上的問題，若非有特別的興趣，或者職責專主於此，則盡可以讓專門制定曆法的史官來做。（作者：李俊 ） |
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