第一章 周公问周天历度数安从出

昔者周公问于商高_{周公、商高，以及下文的荣方、陈子，皆假托的古代传说中人物，未必真有其人其事。这是战国秦汉间著作的常用手法}曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度_{《易·系辞下》：“古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。”此为古代流行的传说。包牺又常写作伏羲、庖牺，为传说中三皇之一，相传八卦也是他所创立}。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？”

白话翻译
以前周公问商高说：听说先生您很擅长数学，请问古时伏羲是如何确立周天历法的。天没有阶梯可升，地不能用尺寸可以直接量得，不知基础的天文地理数据从哪里得来的？

商高曰：“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩_{矩，直到今天，中国的木工仍广泛使用这一古老工具。在古代艺术形象中，伏羲手中常持此物，比如山东嘉祥东汉武梁祠画像石、新疆吐鲁番阿斯塔那唐墓等处的伏羲女娲交尾图中，都是如此。矩的两条直角边，短的称为勾，长的称为股}。矩出于九九八十一_{意指矩中蕴含着乘法之理。故赵爽注称：“九九者，乘除之原也。”由矩的两条直角边所构成的矩形面积，即此两边之长相乘而得的积}。故折矩，以为句广三，股脩四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩_{此处所谓“积矩”，指勾、股平方之和(3²+4²=25)。“两矩共长”不能理解为两直角三角形周长之和}。故禹之所以治天下者，此数之所生也_{夸张的说法。意指禹凭借勾股之术设计、指导治水工程，而使天下大治。故赵爽注称：“禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏垫之厄，使东注于海而无浸逆，乃勾股之所由生也。”如何巧妙利用矩这一工具以勾股术进行工程测算，下文商高陈述“用矩之道”时即论及}。”

白话翻译
商高说：数学方法，都是来源于园和方的关系，我们所处的地球是园的，我们的整个天体的运行都是在做圆周运动，那么天体任何时间所处的位置都可以用距离，高差，斜距来表示，斜距又等于两直角边的平方之和开方求得。圆周长也可以通过线段采用求极值的方式用来表示。举个例子吧，一个四边形，画一条对角线，成为了两个直角三角形，在直角三角形中的一条边长等于3，另一条边等于4，则斜边长就等于5。用图形表示如下图。用公式表示就是直角边长分别为a和b，斜边长为c，就有c²=a²+b²。大禹治水正是用的这个这个原理，就是确定一个水平面，根据这根水平面确定两点之间的高差的方法。当然现代我们测量两点之间的高差，采用的是同样的方法。

备注
“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。”还可以理解为，数学原理可以通过方和园的相互转化来进行计算的，比如一个方形，可以不断的把角切割最后变成一个近似园。方形又可以转化为三角形，通过三角形的关系就可以进行测量计算了。这个原理在后面的应用中得到了充分的体现。下面的“环矩以为圆，合矩以为方。”就已经进行了解释。

句股圆方图_{此五字是否为《周髀算经》原文，现已不可确知传世各种版本中的图很可能都是赵爽作注时所增绘。钱宝琮又据赵注重绘，有八幅之多。但实际上只需用第一幅即可清楚说明赵爽在其注文中对毕氏定理所作的证明。如图2，设勾、股、弦之长依次为a、b、c，则整个大正方形面积为c²，中间小正方形面积为(b-a)²，四个直角三角形面积之和为2ab，于是有：c²=(b-a)²+2ab=a²+b²。对于此事，赵爽、甄鸾、李淳风等人作了大量附注和讨论，繁琐枝蔓，意义不大。但此处必须强调指出的是，上述赵爽的证明对任何比例的直角三角形都普遍适用，而《周髀算经》原书中则始终只停留在勾三、股四、弦五这一特例的表述上}
〔弦图〕：弦实二十五朱及黄_朱实六黄实一

右图左图：