第三章 荣方问陈子日高

昔者荣方问于陈子，曰：“今者窃闻夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤，夫子之道皆能知之。其信有之乎？”
陈子曰：“然。”
荣方曰：“方虽不省，愿夫子幸而说之。今若方者可教此道邪？”
陈子曰：“然。此皆算术之所及。子之于算，足以知此矣。若诚累思之。”

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古代的荣方问陈子说：“我听说先生您的科学知识和方法，能知太阳的远近大小，还有日光普照所及的范围，太阳一日运行的远近度数，人眼睛所能望见的天地极限，以及天上的星宿，天地的广袤，先生的道术_{科学知识和方法}都能知晓，真是如此吗？
陈子说：“是的。”
荣方说“荣方虽然愚钝，却也希望有幸能够了解这些科学原理和方法，您看象我这样的人能够授予我这些科学知识和方法吗？”
陈子说：“可以的。这只需要基本的数学知识，我看您的数学基础足以理解这些科学原理和方法了。您先自己去反复思考，或许就可以领悟。”

于是荣方归而思之，数日不能得。
复见陈子曰：“方思之不能得，敢请问之。”
陈子曰：“思之未熟。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类。是智有所不及，而神有所穷。夫道术，言约而用博者，智类之明。问一类而以万事达者，谓之知道。今子所学，算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智类单。夫道术所以难通者，既学矣，患其不博。既博矣，患其不习。既习矣，患其不能知。故同术相学，同事相观。此列士之愚智，贤不肖之所分。是故能类以合类，此贤者业精习智之质也。夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习。是故算不能精习，吾岂以道隐子哉？固复熟思之。”

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于是荣方回去反复思索，数日不能得要领。
又去见陈子说：“荣方思索未能领悟，敢请夫子开导讲授。”
陈子说：“思考得不够成熟。其实基础也就是望远测高之术，而您不能领悟，而您对数学还不能触类旁通，或者是智有所不及，还是想的太多太远了。您所问的那些原理和方法，原则简约而用途广泛，特别要求触类旁通的智慧。了解了一类而能通晓万事，就是参悟了原理和方法。您所学过的数学基础和方法，本来就需要智慧，而参悟起来尚有困难，说明您的智慧还太单纯有限，须知原理和方法之所以难通，就在于学了却不能广博，广博了却不能熟练，熟练了却不能参悟精义。因此能否在相似的方法中悟出共同原则，在同类事物中推得普遍规律，这是区别人的智慧和愚钝，有才能的人和普通人的分水岭。所以能够类推演绎，是圣贤者能够探寻到事物的规律的基本素质，同样的事情，圣贤者能达到理想境界，普通人就不能如此。我岂会向您隐瞒科学原理和方法呢？您且回去再反复思索吧!”

荣方复归，思之，数日不能得。
复见陈子曰：“方思之以精熟矣。智有所不及，而神有所穷，知不能得。愿终请说之。”
陈子曰：“复坐，吾语汝。”于是荣方复坐而请。
陈子说之曰_{从形式上说，自此以下的所有论述皆为陈子所作。为便于据文义进行分段以清眉目，不再标点作直接引语形式}：“夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿测影。此一者天道之数。周髀_{周髀，为垂直立于地上的竿状物，亦称为表。其得名之故以及各种用途可见下文}长八尺，夏至之日晷_{晷，指八尺之表在日光下投于地面的影长。赵爽注：“晷，影也。”}一尺六寸。髀者，股也。正晷者，句也。正南千里，句一尺五寸。正北千里，句一尺七寸。日益表南，晷日益长_{在天地为平行平面的假设下，并取天高H=80000里、表高h=8尺这组参数时，“日影千里差一寸”的结论确实可以得到证明。“正南千里……”两句，是指同一天(故日位置固定不动)在不同地点(自周地向南千里和向北千里)测日影的情形。“日益南，晷益长”则是指同在周地而不同季节(故日南北远近不同)测日影的情形}。候句六尺_{若已掌握普适的毕氏定理，则日影(勾)为任何长度时皆可施行下文的计算；而此处非要“候勾六尺”不可，足见仍只掌握了勾三、股四、弦五的特例，故需凑成其倍数以便套用}，即取竹，空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径一寸_{由相似三角形可知，太阳至观测者距离与太阳直径之比等于竹筒长度与竹筒孔径之比}。故以句为首，以髀为股。从髀至日下六万里，而髀无影。从此以上至日，则八万里。若求邪_{邪，此处音、义俱同“斜”}至日者，以日下为句，日高为股。句、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，从髀所旁_{旁，赵爽注：“旁，此古邪字。”据前一“邪”字的用法，完全可通。钱宝琮据顾观光之说，谓“旁”及“邪”俱当作“袤”，似乎反而使问题复杂化了}至日所十万里。以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。故曰，日晷径千二百五十里。”

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于是荣方回去又思索数日，仍是不能领悟。于是再去见陈子说道：“荣方确实尽力深思了，实在是智有所不及，思维受到限制，实在是无法自行参悟了，还是请先生开导讲授吧!”
陈子说：“请坐，我来告诉您。”于是荣方坐下再次请教，陈子开始讲授他的原理。
陈子告诉他说：“我们是在周地建立观测站，周地在什么地方呢？是在北半球冬至日正中午太阳到达的极限位置。从周地算起，夏至之日假定水准向南16000里，冬至之日假定水准向南135000里，日中_正中午时立竿测影，由于太阳在正上方，立竿的影子垂直于假定的水平面，与立竿重合。这就是太阳运行轨道的规律。那么怎么知道这个规律的呢？使用的是一种测量方法，称为周髀，具体做法是精制一根8尺长的测杆，在周地观测站垂直于水准地面直立，夏至之日的正中午，可以观测到立竿在水准地面的影子长度是1.6尺，立竿就是一个直角三角形的直立边，称为股。立竿的影子的长度构成了直角三角形的另一条边，为勾。假设我们在水平面把这根立竿向正南方向移动1000里，这时立竿水平面的影子应该是1尺5寸。假设我们在水平面把这根立竿向正北方向移动1000里，这时立竿在假定水平面的影子应该是1尺7寸。这就是说太阳越往南，我们在周地测得的立竿的影子越长。按照这个比例关系，也就是说我们立竿影子的1寸，相当于实际尺寸的1000里，1尺相当于10000里。这是一个测量的原理，这样告诉您，您能理解吗？实际操作不可能是这样的，您想一想地球是一个球体，1000里的距离就不是一个水平面了，而是一个曲面了，因此实际求解这个比例关系是在地面上在短距离的范围内，把地面假定成一个平面，采用下图所示方法求得。

根据相似三角形原理

L2在地面作为基线边可以精确丈量，G1、G2为晷影长度，H1=H-H2，L=L1+L2。两式求解可以求出：

此式表明从测杆顶至太阳的距离H1与H2的比值等于两个测点之间的距离与两点测杆晷影之差的比值。这个公式证明太阳影像所处的高度就是距离地面80000里，这个资料就是根据太阳晷影长度在平面的变化规律测算出来的。同样采用8尺测杆观看太阳晷影长度正好是6尺的时候测点至太阳的斜距，太阳至测点平面的垂直距离，测点至太阳的垂线与平面交点的距离就构成了一个直角三角形，他们的尺寸关系就是斜距长100000里，高差为80000里，平面距离为60000里。这个就是太阳影像_焦点与地平面的关系。这是客观存在。
有了上述的原理，那么在周地就可以等候一个时间，那就是当太阳在地面影子长度刚好是6尺时，我们用一根空心的管子，这个管子的内经为1寸，长度为8尺，对着太阳从管子的一端观看太阳，这时太阳和管子的内径刚好重合。通过这样的观测，太阳与管子的直径的比例关系是80:1。我们就可以计算出太阳的直径。什么原理呢？这跟我们选择的这个时间有关系，我们选择的这个时间，立竿8尺，影子长6尺，那么立竿顶点至地面影子的斜长构成一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜长就是10尺(1丈，根据前面介绍的原理，立竿高8尺，说明太阳的高度距我们决定的水准地面为80000里，立竿的影子长6尺，说明太阳距测站的水准距离为60000里，我们就知道此时观测点至太阳的距离为100000里，根据比例关系我们就可以求得太阳的直径为100000除以80等于1250里_{这是太阳在大气层内影像的直径，与太阳的实际距离和直径之比值成正比例关系，因此其方法计算太阳的视直径是正确的数值}。当然这是为了便于您理解而选择的时间，其实任何时间在观测站我们都可以通过比例关系测出太阳的直径，只是资料计算比较复杂，因此我们的观测站往往就是利用这么一些比较极限的时间点来观测，因此对星球的规律容易找到。

日高图：