第五章 七衡

七衡圖：_{〖是圖待補〗七衡圖可確定系【周髀算經】原本所有，但此後各家繪製，互有異同}

諸版七衡圖
圖一

圖二

圖三

圖四

凡為此圖，以丈為尺，以尺為寸，以寸為分，分一千里。凡用繒方八尺一寸。今用繒方四尺五分，分為二千里。

白話翻譯
繪製天空觀測圖(七衡六間圖)，採用每分代表1000里的比例關係，那麼就要用一幅8.1尺(每尺代表一萬里，81萬里)見方的帛，現在採用4.05尺見方的帛，則圖幅的比例關係為每分代表2000里，每尺代表2萬里，81萬里。

呂氏曰：『凡四海之內，東西二萬八千里，南北二萬六千里_{此為【呂氏春秋】中的語言，夾雜在此，當屬衍文}。』

白話翻譯
【吕氏春秋】说：地球直徑東西方向28000里，採用測璿璣的方法得出，北極星不動，在地球的赤道建立觀測站可觀測出地球的赤道直徑。南北方向26000里，採用實測，在南北建立觀測站利用春分，秋分太陽的晷影和夏至晷影的關係推求。

凡為日月運行之圓周，七衡周而六間，以當六月節_{二十四節氣中，十二為節氣，十二為中氣。因七衡六間描述的是半個回歸年中的情形(另半年對稱相同)，故曰『以當六月節』。趙爽注稱：『六月節者，謂中氣也。』而後世則習慣將節氣稱為節。但這一區別在此處無關宏旨}。六月為百八十二日、八分日之五_{取回歸年長度為日，則半年為日，即所謂六月}。故日夏至在東井極內衡，日冬至在牽牛極外衡也。衡復更終冬至。故曰：一歲三百六十五日、四分日之一，一歲一內極，一外極。三十日、十六分日之七，月一外極，一內極_{仍據回歸年長日，則其十二分之一為日。注意此值並非朔望月長度之值。在回歸年長日，且採用十九年七閏的規則，則19年中共有19×12+7=235個朔望月，那麼朔望月之長為：這個值將在【周髀算經】下卷出現}。是故衡之間萬九千八百三十三里、三分里之一，即為百步_{一里為三百步，以下皆同。這裡是說圖8中每衡之間的間隔距離為里。下文所羅列的數據，即由內衡(即夏至日道)遞增該值而得}。欲知次衡徑，倍而增內衡之徑。二之以增內衡徑。次衡放_放，同仿此。

白話翻譯
繪製代表日月運行軌道的圓周，7層同心圓中間有6個間隔。代表半年六個月的節點，半年為182(5/8)日。故夏至日太陽在東井之宿，處於七衡圖的最內圈。冬至太陽在牽牛之宿，在七衡圖的最外圈。一年365(1/4)日，太陽從最內圈到最外圈，然後回到最內圈。為一年。而30(7/16)日中，月球從最內圈到最外圈，然後回到最內圈為一個月的時間。由於衡與衡之間間隔為19833(1/3)里，1里等於300步，三分之一里為100步。那麼相鄰衡的直徑用衡之間的間隔為：19833(1/3)里*2 加在內衡直徑上即可求得

內一衡徑二十三萬八千里，周七十一萬四千里。分為三百六十五度、四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三。

白話翻譯
內衡直徑238000里，周長714000里。雖然實際運動是地球圍繞太陽旋轉，但是人類站在地球上，看到的景象是由於地球自轉造成的現象，根據相對運動原理，我們看到太陽影像圍繞地球在旋轉，但在大氣層這個球體內我們也是可以看作在這個直徑的圓上太陽的焦點(影像)繞地球一年所走過的距離，按地球一年自轉365(1/4)圈來除，得這一年的影像繞地球運行的距離為1954里247(933/1461)步(一天的弧長)。

次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百步，周八十三萬三千里。分里為度，度得二千二百八十里百八十八步、千四百六十一分步之千三百三十二。

白話翻譯
第二衡直徑為277666里又200步，周長833000里。實際運動地球圍繞太陽旋轉，人站在地球上，看到的景象是地球自轉造成的現象，根據相對運動的原理，看到太陽影像圍繞著地球在旋轉，但在大氣層這個球體內我們也是可以看作在這個直徑的圓上太陽的焦點(影像)繞地球一年所走過的距離，按地球一年自轉365(1/4)圈來除，得這一天的太陽影像繞地球運行的距離為2280里188(1332/1461)步(一天的弧長)。

次三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百步，周九十五萬二千里。分為度，度得二千六百六里百三十步、千四百六十一分步之二百七十。

白話翻譯
同上，第三衡直徑為317333里又100步，周長952000里。這一天太陽影像繞地球運行的距離為2606里130(270/1461)步(一天的弧長)。

次四衡徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。分為度，度得二千九百三十二里七十一步、千四百一十分步之六百六十九。

白話翻譯
第四衡直徑為357000里，周長1071000里。這一天太陽影像繞地球運行的距離為2932里71(669/1461)步(一天的弧長)。

次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百步，周一百一十九萬里。分為度，度得三千二百五十八里十二步、千四百六十一分步之千六十八。

白話翻譯
第五衡直徑為396666里又200步，周長119000里。這一天太陽影像繞地球運行的距離為3258里12(1068/1461)步(一天的弧長)。

次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百步，周一百三十萬九千里。分為度，度得三千五百八十三里二百五十四步、千四百六十一分步之六。

白話翻譯
第六衡直徑為436333里又100步，周長139000里。這一天太陽影像繞地球運行的距離為3583里254(6/1461)步(一天的弧長)。

次七衡徑四十七萬六千里，周一百四十二萬八千里。分為度，得三千九百九里一百九十五步、千四百六十一分步之四百五。

白話翻譯
第七衡直徑為470000里，周長1428000里。這一天太陽影像繞地球運行的距離為3909里195(405/1461)步(一天的弧長)。

其次，日冬至所北照，過北衡十六萬七千里。為徑八十一萬里，周二百四十三萬里。分為三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。過此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其難知_{【周髀算經】對它所構想的宇宙最遠邊界之外的情形表示存疑態度。對這一問題的思考在漢代仍有繼續，張衡的【靈憲】是與【周髀算經】的蓋天說相對立的渾天說的經典文獻，但其中對上述問題的態度卻與後者相似：『過此而往者，未之或知也。未之或知者，宇宙之謂也。』}。此言上聖不學而知之。
故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷長，夏至日晷短。日晷損益，寸差千里。故冬至、夏至之日，南北遊十一萬九千里，四極徑八十一萬里，周二百四十三萬里。分為度，度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。

白話翻譯
冬至這天太陽軌道加上太陽向外輻射長度167000里，得到大氣層直徑810000里，周長2430000里。得每天在這個圓上行走的距離為6652里293(327/1461)步。
冬至日太陽影子1丈3尺5寸，夏至日太陽影子1尺6寸。影子1寸相當於距離1000里。因此從冬至日到夏至日，雖然是地球繞太陽旋轉了一圈，而我們在投影圖上看到的就是太陽南北移動了119000里，大氣層直徑810000里，周長2430000里，這個距離除365(1/4)圈，得這一天行走的距離為6652里293(327/1461)步。這就是一天對應大氣層邊緣天的距離(一天的弧長)。

其南北游，日六百五十一里一百八十二步、一千四百六十一分步之七百九十八_{此值有太陽周年視運動的性質，它可以與球面天文學中太陽的赤緯運動相對應(數值及其準確含義當然相去甚遠)。在【周髀算經】的宇宙數理模型中，它表現為太陽在半年時間內移過七衡(另半年對稱相反)的速度。由圖6及圖8可知，內衡與最外衡半徑之差為119000里，故有：【周髀算經】至此完成了它的宇宙數理模型的構建}。

白話翻譯
這個數值換算成太陽南北運動的直線運動距離相當於651里182(798/1461)步。

術曰：置十一萬九千里為實，以半歲一百八十二日、八分日之五為法，而通之，得九十五萬二千，為實。所得一千四百六十一為法，除之。實如法得一里。不滿法者，三之，如法得百步。不滿法者，十之，如法得十步。不滿法者，十之，如法得一步。不滿法者，以法命之_{此處【周髀算經】以『日南北遊』為例展示了它的頗為繁瑣的分數運算法}。

白話翻譯
該數用太陽半年時間從南到北距離是119000里，用這個數除以時間天數182(5/8)天。得除式(952000/1461)，其商的整數部分為651里，餘數為(889/1461)，這個數分子乘以3，化為百步(2667/1461)。商的整數部分即為百步數1，餘數部分(1206/1461)乘以10化為步得(12060/1461)，商的整數部分為10步數8，餘數部分(372/1461)再乘以10化為步得除式(3720/1461)，此式商的整數部分為步數2，餘數直徑用分子式(798/1461)表示，這就是古人300進位制的表示方法。該進位元方式可以把所有小數通過分數來表示，用通用公式可以寫作ABC,DEF的一個小數。用分數表示，可以寫成A乘以X的平分加上B乘以X的平分加上C乘以X的三次方加上D乘以(1/x)加上E乘以(1/x的平分)加上F乘以(1/x的三次方)等等，X不能等於0或1。這樣可以消除小數由於位數不夠帶來的誤差。