第五章 七衡

七衡图：_{《是图待补》七衡图可确定系《周髀算经》原本所有，但此后各家绘制，互有异同}

诸版七衡图
图一

图二

图三

图四

凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分一千里。凡用缯方八尺一寸。今用缯方四尺五分，分为二千里。

白话翻译
绘制天空观测图(七衡六间图)，采用每分代表1000里的比例关系，那么就要用一幅8.1尺(每尺代表一万里，81万里)见方的帛，现在采用4.05尺见方的帛，则图幅的比例关系为每分代表2000里，每尺代表2万里，81万里。

吕氏曰：“凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里_{此为《吕氏春秋》中的语言，夹杂在此，当属衍文}。”

白话翻译
《吕氏春秋》说：地球直径东西方向28000里，采用测璿玑的方法得出，北极星不动，在地球的赤道建立观测站可观测出地球的赤道直径。南北方向26000里，采用实测，在南北建立观测站利用春分，秋分太阳的晷影和夏至晷影的关系推求。

凡为日月运行之圆周，七衡周而六间，以当六月节_{二十四节气中，十二为节气，十二为中气。因七衡六间描述的是半个回归年中的情形(另半年对称相同)，故曰“以当六月节”。赵爽注称：“六月节者，谓中气也。”而后世则习惯将节气称为节。但这一区别在此处无关宏旨}。六月为百八十二日、八分日之五_{取回归年长度为日，则半年为日，即所谓六月}。故日夏至在东井极内衡，日冬至在牵牛极外衡也。衡复更终冬至。故曰：一岁三百六十五日、四分日之一，一岁一内极，一外极。三十日、十六分日之七，月一外极，一内极_{仍据回归年长日，则其十二分之一为日。注意此值并非朔望月长度之值。在回归年长日，且采用十九年七闰的规则，则19年中共有19×12+7=235个朔望月，那么朔望月之长为：这个值将在《周髀算经》下卷出现}。是故衡之间万九千八百三十三里、三分里之一，即为百步_{一里为三百步，以下皆同。这里是说图8中每衡之间的间隔距离为里。下文所罗列的数据，即由内衡(即夏至日道)递增该值而得}。欲知次衡径，倍而增内衡之径。二之以增内衡径。次衡放_放，同仿此。

白话翻译
绘制代表日月运行轨道的圆周，7层同心圆中间有6个间隔。代表半年六个月的节点，半年为182(5/8)日。故夏至日太阳在东井之宿，处于七衡图的最内圈。冬至太阳在牵牛之宿，在七衡图的最外圈。一年365(1/4)日，太阳从最内圈到最外圈，然后回到最内圈。为一年。而30(7/16)日中，月球从最内圈到最外圈，然后回到最内圈为一个月的时间。由于衡与衡之间间隔为19833(1/3)里，1里等于300步，三分之一里为100步。那么相邻衡的直径用衡之间的间隔为：19833(1/3)里*2 加在内衡直径上即可求得

内一衡径二十三万八千里，周七十一万四千里。分为三百六十五度、四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三。

白话翻译
内衡直径238000里，周长714000里。虽然实际运动是地球围绕太阳旋转，但是人类站在地球上，看到的景象是由于地球自转造成的现象，根据相对运动原理，我们看到太阳影像围绕地球在旋转，但在大气层这个球体内我们也是可以看作在这个直径的圆上太阳的焦点(影像)绕地球一年所走过的距离，按地球一年自转365(1/4)圈来除，得这一年的影像绕地球运行的距离为1954里247(933/1461)步(一天的弧长)。

次二衡径二十七万七千六百六十六里二百步，周八十三万三千里。分里为度，度得二千二百八十里百八十八步、千四百六十一分步之千三百三十二。

白话翻译
第二衡直径为277666里又200步，周长833000里。实际运动地球围绕太阳旋转，人站在地球上，看到的景象是地球自转造成的现象，根据相对运动的原理，看到太阳影像围绕着地球在旋转，但在大气层这个球体内我们也是可以看作在这个直径的圆上太阳的焦点(影像)绕地球一年所走过的距离，按地球一年自转365(1/4)圈来除，得这一天的太阳影像绕地球运行的距离为2280里188(1332/1461)步(一天的弧长)。

次三衡径三十一万七千三百三十三里一百步，周九十五万二千里。分为度，度得二千六百六里百三十步、千四百六十一分步之二百七十。

白话翻译
同上，第三衡直径为317333里又100步，周长952000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为2606里130(270/1461)步(一天的弧长)。

次四衡径三十五万七千里，周一百七万一千里。分为度，度得二千九百三十二里七十一步、千四百一十分步之六百六十九。

白话翻译
第四衡直径为357000里，周长1071000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为2932里71(669/1461)步(一天的弧长)。

次五衡径三十九万六千六百六十六里二百步，周一百一十九万里。分为度，度得三千二百五十八里十二步、千四百六十一分步之千六十八。

白话翻译
第五衡直径为396666里又200步，周长119000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为3258里12(1068/1461)步(一天的弧长)。

次六衡径四十三万六千三百三十三里一百步，周一百三十万九千里。分为度，度得三千五百八十三里二百五十四步、千四百六十一分步之六。

白话翻译
第六衡直径为436333里又100步，周长139000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为3583里254(6/1461)步(一天的弧长)。

次七衡径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。分为度，得三千九百九里一百九十五步、千四百六十一分步之四百五。

白话翻译
第七衡直径为470000里，周长1428000里。这一天太阳影像绕地球运行的距离为3909里195(405/1461)步(一天的弧长)。

其次，日冬至所北照，过北衡十六万七千里。为径八十一万里，周二百四十三万里。分为三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。过此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其难知_{《周髀算经》对它所构想的宇宙最远边界之外的情形表示存疑态度。对这一问题的思考在汉代仍有继续，张衡的《灵宪》是与《周髀算经》的盖天说相对立的浑天说的经典文献，但其中对上述问题的态度却与后者相似：“过此而往者，未之或知也。未之或知者，宇宙之谓也。”}。此言上圣不学而知之。
故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷长，夏至日晷短。日晷损益，寸差千里。故冬至、夏至之日，南北游十一万九千里，四极径八十一万里，周二百四十三万里。分为度，度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。

白话翻译
冬至这天太阳轨道加上太阳向外辐射长度167000里，得到大气层直径810000里，周长2430000里。得每天在这个圆上行走的距离为6652里293(327/1461)步。
冬至日太阳影子1丈3尺5寸，夏至日太阳影子1尺6寸。影子1寸相当于距离1000里。因此从冬至日到夏至日，虽然是地球绕太阳旋转了一圈，而我们在投影图上看到的就是太阳南北移动了119000里，大气层直径810000里，周长2430000里，这个距离除365(1/4)圈，得这一天行走的距离为6652里293(327/1461)步。这就是一天对应大气层边缘天的距离(一天的弧长)。

其南北游，日六百五十一里一百八十二步、一千四百六十一分步之七百九十八_{此值有太阳周年视运动的性质，它可以与球面天文学中太阳的赤纬运动相对应(数值及其准确含义当然相去甚远)。在《周髀算经》的宇宙数理模型中，它表现为太阳在半年时间内移过七衡(另半年对称相反)的速度。由图6及图8可知，内衡与最外衡半径之差为119000里，故有：《周髀算经》至此完成了它的宇宙数理模型的构建}。

白话翻译
这个数值换算成太阳南北运动的直线运动距离相当于651里182(798/1461)步。

术曰：置十一万九千里为实，以半岁一百八十二日、八分日之五为法，而通之，得九十五万二千，为实。所得一千四百六十一为法，除之。实如法得一里。不满法者，三之，如法得百步。不满法者，十之，如法得十步。不满法者，十之，如法得一步。不满法者，以法命之_{此处《周髀算经》以“日南北游”为例展示了它的颇为繁琐的分数运算法}。

白话翻译
该数用太阳半年时间从南到北距离是119000里，用这个数除以时间天数182(5/8)天。得除式(952000/1461)，其商的整数部分为651里，余数为(889/1461)，这个数分子乘以3，化为百步(2667/1461)。商的整数部分即为百步数1，余数部分(1206/1461)乘以10化为步得(12060/1461)，商的整数部分为10步数8，余数部分(372/1461)再乘以10化为步得除式(3720/1461)，此式商的整数部分为步数2，余数直径用分子式(798/1461)表示，这就是古人300进位制的表示方法。该进位元方式可以把所有小数通过分数来表示，用通用公式可以写作ABC,DEF的一个小数。用分数表示，可以写成A乘以X的平分加上B乘以X的平分加上C乘以X的三次方加上D乘以(1/x)加上E乘以(1/x的平分)加上F乘以(1/x的三次方)等等，X不能等于0或1。这样可以消除小数由于位数不够带来的误差。