第二章 璇周四极

欲知北极枢，璿周四极。常以夏至夜半时北极南游所极，冬至夜半时北游所极，冬至日加酉之时西游所极，日加卯之时东游所极。此北极璿玑四游。正北极璿玑之中，正北天之中。正极之所游，冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表颠_{颠，通巅，指八尺之表的顶端}，希望北极中大星_{北极为天空中假想的点，再选择位于该点附近较亮的恒星作为北极星。由于岁差的作用，北极在天空中缓慢移动，约26000年而绕一周，因此历代的北极星也就不会始终为同一颗恒星。这样，此处“北极中大星”究竟为哪一颗星，就与《周髀算经》成书于什么时代或其材料来自什么时代这一问题密切相关了。据陈遵妫的意见，此“北极中大星”为今小熊座β星，也即古代中国所称的“帝星”(见陈遵妫《中国天文学史》174—175页)}，引绳致地而识之。又到旦，明日加卯之时，复引绳希望之，首及绳致地而识其端_{参见图10，由于北极与北极星并不绝对重合，两者间有一个角距离，因此北极星一昼夜间围绕北极在天空中画出一小圆。此小圆的半径实即北极与北极星之间的角距}，相去二尺三寸。故东西极二万三千里_{仍参见图10，据《周髀算经》卷上所推证的“寸影千里”比例，得“极下璿玑”(即“北极璿玑”)直径为23000里。这个数值带有明显的时代标志因为此值显然直接取决于当时北极与北极星的角距}，其两端相去正东西。中折之以指表，正南北。加此时者，皆以漏揆度之_{漏，指刻漏，古代的计时装置。此处的意思是，前述“加酉之时”、“加卯之时”等，都是用刻漏计量而得。由图10可知，冬至日加酉之时(W点)和明日加卯之时(D点)在地上所作记号(“识”)依次为F、D两点，此两点的连线为正东西方向；在此两点连线的中点B处，向北引B与表所在的C点之间的连线，即为正南北方向}。此东、西、南、北之时_{“此东西南北之时”句，各本皆同。但顾观光认为“南北”二字是衍文，显然无道理。从上下文看，“南北”当属下句}。其绳致地所识，去表丈三寸，故天之中去周十万三千里_{仍见图10。据前“寸影千里”比例，得出周地距极下(即此处所云“天中”，因《周髀算经》的整个宇宙都绕北极运转和展开)103000里之值，即卷上图6中的L值。这个值在卷上已提到过它的由来：“今立表高八尺，以望极，其勾一丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下。”}。何以知其南北极之时？以冬至夜半北游所极也北过天中万一千五百里，以夏至南游所极不及天中万一千五百里。此皆以绳系表颠而希望之，北极至地所识丈一尺四寸半，故去周十二万四千五百里，过天中万一千五百里；其南极至地所识九尺一寸半，故去周九万一千五百里，其南不及天中万一千五百里_{见图11所示。与图10相仿，图中P点为北极。不过必须特别注意，此图中极星所绕行的小圆与图10中的有一些不同。在图10中，北极星所绕小圆为它作周日拱极运动(因地球的自转，所有恒星一昼夜间都呈现出绕北极一周的拱极视运动)而成，这在天文学上有着实际的观测依据。而这一模式中，要想求得北极星南、北游之极，按理应在某日(是否为冬至或夏至日，即使在《周髀算经》模型中也是完全无关紧要的)夜半和次日日中各“以绳系表颠而希望之”而在地上做出标记，但由于白天不可能看见恒星，故上述方案不可能实施。于是《周髀算经》假定北极星在冬至夜半游至北端而夏至夜半游至南端，这是同样合理的。确实也有实际的观测依据，然而这点在《周髀算经》宇宙模型中却反而讲不通。依据《周髀算经》模型，任何一天的夜半，北极星都在同一处。而且，在该模型中，这个北极星画出的小圆仅仅依据图10所示的“东西游”，实际上就足以推知了。因此，图11中一丈一尺四寸半、九尺一寸半之类的资料，完全可以是编凑出来的，为的是再一次验证“极下璿玑”之直径为23000里。而有些学者据此去推算极星的位置和年代等等，恐怕是没有意义的}。此璿玑四极南北过不及之法，东、西、南、北之正勾_{此处赵爽注云：“以表为股，以影为勾。影言正勾者，四方之影皆正而定也。”}。

白话意译
那么要想测得冬至日北半球照射不到太阳的圆圈的直径，或者说是找到这个圆圈上的四个极点采用的是如下方法。我们观测站的位置就是在冬至日光照射的极限位置上，而不是在北极点的极限点上，我们看到的北极星也是绕北极原点在作圆周运动(站在北极点上观测北极星是不动的)，这是相对运动原理，实际是北极星不动，是我们在地球上的观测点在作圆周运动。观测方法是，以夏至夜半时北极星南游所到达的极限点通过立竿在地面的投影点(眼睛、立竿顶、北极星三点一线)做一个标记，到了冬至日这一天的夜半时分北极星向北所到达的极限点通过立竿在地面的投影点做一个标记，冬至日加酉之时(下午6点)北极星向西所到达的极限点通过立竿在地面的投影点做一个标记，冬至日加卯之时(早晨6点)北极星向东所到达的极限点通过立竿在地面的投影点做一个标记。这个就是北极星旋转在东西南北四个方向的四个极限点。这四个点东西两点相连，南北两点相连的交点与立竿顶点的连线的延长线正对的天空就是正北天的正中。这是一种观测方法，因这种方法需要跨度半年时间。实际地球自转是一个标准的圆周运动，冬至日加酉之时(下午6点)，立八尺的立竿，用绳线系竿顶，还是三点一线的方法向北极中大星(北极星)，引绳在地上端点得到一个位置点。第二天早晨6点钟，同样的方法得到一个位置点。这两点相距二尺三寸。因此东西北极星经过的两点相距23000里.取东西方向这两点的正中间。根据东西方向这条线的中点画垂直线，这就是正南北方向，同样的距离也可以得到两个点。时间记录采用的是漏水计刻度的方法。也就是北极星所处东、西、南、北四方极点的时间。观测如图10。

周去极十万三千里。日去人十六万七千里。夏至去周一万六千里。夏至日道径二十三万八千里，周七十一万四千里。春、秋分日道径三十五万七千里，周一百七万一千里。冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。日光四极八十一万里，周二百四十三万里。从周南三十万二千里。

白话意译
上述观测方法的基本原理是这样的，前面的方法已经测量出北极星四极游的圆圈的中心点，这个点距立竿的水准距离是1丈零3寸，所以天的中心北极星到周地观测站的距离就是103000里。怎么知道南游和北游的极限的时间呢？是以以冬至日夜半(12点)北极星北游能够到达的极限位置也是北过天中11500里，所以夏至日南游不能够到达的极限位置也是不到天中11500里。这都是采用绳系立竿顶而三点一线的观测方法而得，北极星北游之极限位置时绳在地上的标记距表(立竿中心)1丈1尺4寸半，故去周地的距离是114500里，超过天中11500里；北极星南游之极限位置时绳在地上的标记距表(立竿中心)9尺1寸半，所以去周地的距离是91500里，南游的极限位置不到天中11500里。这就是璿玑四个极限位置的南北方向超过或者的不及的观测方法，取的都是东、西、南、北正方向。观测如上图11。

璿玑径二万三千里，周六万九千里。此阳绝阴彰，故不生万物_{此处赵爽注云：“春秋分谓之阴阳之中，而日光所照适至璿玑之径，为阳绝阴彰，故万物不复生也。”这也再次表明了此“极下璿玑”区域的特殊性，而这一点也只有在本书图6所示的天地模式中方能讲通}。其术曰，立正勾定之。以日始出，立表而识其晷。日入，复识其晷。晷之两端相直者，正东西也。中折之指表者，正南北也_{自“其术曰”至“正南北也”一段话，与上下文全无关系，疑为错简或衍文}。极下不生万物。何以知之？冬至之日去夏至十一万九千里，万物尽死；夏至之日去北极十一万九千里，是以知极下不生万物_{这里的推论方法疑似错误。作者的推论方法是：夏至日下之地在冬至时远离太阳119000里(仅在二维平面内考虑，未虑及天地相距八万里的二维情形)，已经万物尽死；则极下即使在夏至之日也远离太阳119000里，自然万物无生时。但是作者刚刚在前文说过，不生万物的区域是直径达23000里的“极下璿玑”，而不是极下一点；在这23000里直径的圆形内，除面积为零的极下一点外，其全部面积在夏至日离太阳的距离都小于119000里。因此，严格地说，上述推论是不能成立的。然而也应该注意到，作者所推得的结论却与事实相去不远}。北极左右，夏有不释之冰_{这一点确是北极附近的事实。在《周髀算经》的时代，迄今未见任何证据表明中国人有过北极探险的可能，因此《周髀算经》中关于北极地区“不生万物”、“夏有不释之冰”的描述，只能有如下两个来源：或是作者纯粹根据越向北方越冷的实际经验推论而得，或是得之于外部世界关于地球寒热五带的知识这种知识至迟在公元前3世纪(相当于中国的战国时代末期)古希腊的Eratosthenes的著作中已经具备。特别值得注意的是，对于北极附近“夏有不释之冰”的描述，赵爽竟反而表示怀疑，此处其注称：“冰冻不解，是以推之，夏至之日外衡之下为冬矣，万物当死此日远近为冬夏，非阴阳之气，爽或疑焉。”这更证明这些知识对于汉代的中国学者而言仍是非常新奇的}。

白话意译
上述方法测出的是此处地球的直径，也就是冬至日日光所照极限点地球(北极星不动，地球在旋转)的直径23000里，周长69000里，在此往北的范围内。太阳完全不能照射，完全是黑夜，因此万物不生。
采用的是实测法，确定了东西南北方向，每天都是采用立竿定标的方法，观测日出日落的时间，观测日光影子的长短方向，详细记录，太阳升起的地方为正东方，太阳落下的地方为正西方。东西两点连线中点的垂直线就是正南北方向。怎么知道南北极下不生万物？冬至日和夏至日太阳在南北方向相距119000里，冬天在周地观测站我们就看到，冰天雪地，万物都处于收藏的状态，万物都死了。到了夏至日太阳与地球的北极的距离也是119000里，所以也就知道地球北极极下不生万物。当然知道了地球北极附近，即便是夏天，冰也是不化的，同理也就知道地球南极也是一个道理(通过测量日道的距离，判断出南北极常年冰雪不化)。