從【九章算術】看古代數學與儒學的關係

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中國古代數學體系的形成以漢代【九章算術】的出現為重要標誌。【九章算術】實際上是246道應用題及其解法的匯編，分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。關於該著作的產生，魏晉時期數學家劉徽在所撰著的【九章算術注】『序』中說：
　　周公制禮而有九數，九數之流，則【九章】是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。
　　劉徽的這段話包括了兩個內容：其一，【九章算術】來自儒家經典【周禮】的『九數』；其二，劉徽所注的【九章算術】是經過張蒼刪補過的。
　　【周禮】的『九數』指的是【周禮・地官司徒・保氏】所言：『保氏掌諫王惡而養國子以道，乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五御，五曰六書，六曰九數。』這就是古代教育必須學習的禮、樂、射、御、書、數六門功課，『九數』是指『數』學這門功課有九個細目。關於『九數』的細目，【周禮】並沒有列出。東漢的鄭玄在他的【周禮註疏・地官司徒・保氏】中引鄭司農（鄭眾）所言：『九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。』這也許就是早期的【九章算術】的綱目，與其後劉徽所注的【九章算術】中的綱目類似。
　　張蒼（？―公元前152年），陽武（今河南原陽）人，『以善算命世』，是西漢時期的數學家；同時他也是重要的天文學家，司馬遷說：『漢家言律歷者，本之張蒼。蒼本好書，無所不觀，無所不通，而尤善律歷。』[①]此外，張蒼又是重要的經學家。劉向曾在敘述【春秋左氏傳】的傳授系統時說：『左丘明授曾申，申授吳起，起授其子期，期授楚人鐸椒，鐸椒作【抄撮】八卷授虞卿，虞卿作【抄撮】九卷授荀卿，荀卿授張蒼。』[②]後來的班固所撰【漢書】說：『漢興，北平侯張蒼及梁太傅賈誼、京兆尹張敞、太中大夫劉公子皆修【春秋左氏傳】。』[③]
　　由此可見，作為中國古代數學史上最重要的經典著作【九章算術】與儒家有着密切的關係。關於這一點，中國數學史家錢寶琮先生還作了詳細的論證。他認為，『【九章算術】的編集與東漢初年經古文學派的儒士有密切的關係』；他還說：『鄭眾、馬續、馬融等人以為人民在生產實踐中產生的數學概念和計算方法都是儒家六藝中「九數」的內容，因而把古代相傳的算法分別隸屬於「九章」之內。』[④]錢寶琮先生還認為，【九章算術】以實用『算術』的形式出現，與儒家文化也有密切的聯繫；他說：『【九章算術】的編纂者似乎認為：所有具體問題得到解答已盡「算術」的能事，不討論抽象的數學理論無害為「算術」；掌握數學知識的人應該滿足於能夠解答生活實踐中提出的應用問題，數學的理論雖屬可知，但很難全部搞清楚，學者應該有適可而止的態度。這種重視感性認識而忽視理性認識的見解，雖不能證明它淵源於荀卿，但與荀卿思想十分類似。』[⑤]如果對於中國古代數學發展具有重要影響的【九章算術】，其結構和實用性的特徵是由於受到儒家文化的影響，那麼，整個古代數學的發展與儒家文化的密切聯繫，也就不言而喻的了。
　　魏晉時期，劉徽作【九章算術注】，把數學與儒家經典【周易】聯繫在一起。他在【九章算術注】『序』中認為，古代數學的產生可以進一步追溯到包犧氏畫八卦；他說：
　　昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術，以合六爻之變。暨於黃帝，神而化之，引而伸之，於是建曆紀、協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。
　　劉徽認為，數學是包犧氏為了『合六爻之變』而發明的，後來經由黃帝進一步發展，以發揮【周易】『兩儀四象』的功效。他還說：『徽幼習【九章】，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算術之根源。探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。』也就是說，劉徽是通過【周易】的陰陽之說『總算術之根源』，從而明白【九章算術】之意，並為【九章算術】作注。顯然，在劉徽看來，【九章算術】與【周易】有着密切的關係。
　　然而，從現代的角度看，【九章算術】與【周易】之間似乎並沒有嚴格的邏輯關係，把二者牽扯在一起，似有牽強附會之嫌；即使是劉徽的【九章算術注】，我們也看不出與【周易】有任何邏輯關係。但是，劉徽的確認為【九章算術】以及【九章算術注】與【周易】有着密切的聯繫，認為古代數學起源於【周易】。對此，筆者認為，【九章算術】以及【九章算術注】與【周易】之間的邏輯聯繫尚待進一步研究，不可輕易視之為牽強附會而予以否定。
　　需要指出的是，劉徽把數學與【周禮】的『九數』以及【周易】聯繫在一起，並且通過對前人的數學經典作注這一類似於經學研究的方式研究數學，使得數學與儒學密切地聯繫在一起；這對於後來的數學發展具有重要的影響，以至於後來的數學家一直把數學看成是儒家之學。
稍後於劉徽的【孫子算經】以提出『孫子問題（一次同餘式問題）』以及『中國剩餘定理』而聞名。【孫子算經】『序』說：夫算者，天地之經緯，群生之元首，五常之本末，陰陽之父母，星辰之建號，三光之表裏，五行之准平，四時之終始，萬物之祖宗，六藝之綱紀；稽群倫之聚散，考二氣之升降，推寒暑之迭運，步遠近之殊同；觀天道精微之兆基，察地理縱橫之長短；采神祗之所在，極成敗之符驗；窮道德之理，究性命之情。
　　在這裏，【孫子算經】認為數學是『五常之本末』，『六藝之綱紀』，能夠『窮道德之理，究性命之情』，顯然是把數學與儒學聯繫在一起。
　　唐朝時期的數學家王孝通。他在【上緝古算經表】中說：臣聞九疇載敘，紀法著於彝倫；六藝成功，數術參於造化。夫為君上者司牧黔首，有神道而設教，采能事而經綸，盡性窮源莫重於算。昔周公制禮有九數之名，竊尋九數即【九章】是也；其理幽而微，其形秘而約在這段表述中，王孝通講到了儒家經典【尚書・洪範】的『九疇』、儒家的『六藝』以及【周易・說卦傳】的『窮理盡性』，並且與以往的數學家一樣，也認為數學來自【周禮】的『九數』。
　　【夏侯陽算經】則明確把包括數學在內的『六藝』看作是儒家必要的知識基礎，其『序』說：夫博通九經為儒門之首，學該六藝為技術之宗。
　　其實，儒家學者也有類似說法。南北朝時期的顏之推撰【顏氏家訓】，其中的『雜藝』篇說：『算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定律歷者，皆學通之。然可以兼明，不可以專業。』儒家雖然並不主張以數學為專業，但認為數學是儒家必修的『六藝』中的重要一科，應當通曉，可以兼明，這足以證明儒家對於數學的包容和重視。
　　注釋：
　　[①] 【史記・張丞相列傳】。
　　[②] 【春秋左傳註疏】『序』。
　　[③] 【漢書・儒林傳】。
　　[④] 錢寶琮：【〖九章算術〗及其劉徽注與哲學思想的關係】，載【錢寶琮科學史論文選集】，北京：科學出版社1983年版。
　　[⑤] 錢寶琮：【〖九章算術〗及其劉徽注與哲學思想的關係】。
　　（原載於拙著【儒家文化與中國古代科技】（中華書局2002年12月版）第114～122頁，略有增刪）