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來源: 中國網 西周時期的數學水平怎麼樣，我們今天已無法看到，從古代典籍中所留下來的一些記載來看，數學並不是學習中的主要內容，與禮、樂、射、御相比，其所佔的比例十分小，不僅此時如此，即在整個知識體系和學術思想中，像數學這樣的自然科學也沒有清晰的面目，它們通常被劃歸於『數術類』。『數術類』是個很龐雜的門類，它包括很多我們今天歸為自然科學的知識，如數學、地理、天文等，也包括一些巫術的內容，比如占卜、符瑞、天象、風水等。二者是混合在一起的，有些分類在今天看來是十分荒謬的。舉個例子來說，比如『符瑞』這個門類，其中往往記載日蝕、月食、彗星、隕星等天文現象，在古人那裏這屬於災異，是凶兆，而不是天文學知識。這是我們知識體系上的差別造成的，而不是知識本身的不同。
雖然數學在古時，其內容和水平有限，但這並不意味着，這一門知識不重要，不發達，相反，數學的運用十分廣泛，在某些方面的成就甚至超出了我們的想像，幾乎可以用超級早熟來形容，這就是天算。按照周禮的規定，周天子要在新年伊始頒發日曆，以確立農時。曆法的制定除了天文觀測積累經驗外，更多的要靠數學運算。而這個運算過程相當複雜。在古代流傳下來一本書，叫做【周髀算經】，它是一部以蓋天說為中心的天文學著作，年代無法準確估算，其上限甚至可以追溯到西周初年，其下限或許可以定在西漢初期，即公元前二世紀前期。這本書中涉及到很多數學知識，大體上保留了先秦時代的知識。
這本書開篇就討論直三角形，演說勾股定理。這裏我們不妨引用一段書中的內容。（采自李約瑟【中國科學技術史】第三卷『數學』，中譯本。）
從前，周公問商高說：『我聽說，大夫（指商高）很精通數的藝術。是不是可請您談談，古代伏羲是怎樣確定天球的度數的？天是沒有一種梯子能登攀得上的，地也無法用尺子來測量。因此我很想問問您，這些數字是從哪裏來的？』
商高回答說：『數的藝術是從圓形和方形開始的。圓形出自方形，而方形則出自矩形（字面上即指丁字尺或木工用的曲尺）。矩形出自9×9＝81這個事實（即乘法表或數的諸如此類的性質）。設把一個矩形沿對角線切開，讓寬等於3個單位，長等於4個單位。這樣，兩個對角之間的對角線的長度就等於5單位。現在用這條對角線作為邊長畫一個正方形，再用幾個同外面那個半矩形相似的半矩形把這個這個正方形圍起來，形成一個方形盤。這樣，外面那四個寬為3、長為4、對角線為5的半矩形，合在一起便構成兩個矩形，總面積等於24；然後從方形盤的總面積49減去24，便得到餘數25。這種方法成為’積矩’。大禹所用的治天下的方法，就是從這些數字發展出來的。』
周公感嘆說：『數這門藝術真是了不起啊！我想再請教應用直角三角形（字面上指丁字尺）的道理。』
商高回答說：『使直角三角形平臥在地上，可以用繩子設計出平直的和方形的工程。把直角三角形豎立起來，可以測量高度。倒立的直角三角形可用來測量深淺，而平放的直角三角形則可用來測出距離。』
『讓直角三角形旋轉（規），可以畫出圓形，把幾個直角三角形合在一起，可以得到正方形和長方形。方形屬於地，而圓形則屬於天，所以天是圓的，而地則是方的。方形的數是標準，從方形的數可以推出圓形的大小來。』
『天想一個笠子。天的顏色是藍的和黑的，地的顏色是黃的和紅的。可以用一個按照天的數之稱的圓盤來表示天，朝上的一面像外表面一樣，是藍色和黑色的；朝下的一面像內表面一樣，是紅色和黃色的，這就把天和地的形象再現出來了。』
『對地有所了解的人是聰明人，而對天有所了解的人則是聖人。知識出自直線，而直線則出自直角。因此，直角和數結合起來，就是指導和統治萬物的東西。』 周公感慨地說：『這確實是太妙了！』
這一段文字中涉及了極為豐富的數學知識和天文知識。所謂的蓋天說，就是我們通常所說的『天圓地方』。雖然在後來的實際觀測和運算中，太陽的軌跡和四季的變化使人們不得不訴諸於更好的天文學說，即東漢大科學家張衡主張的渾天說，但此時的認識尚未達到。不過，讓人驚異的是，即使理論前提不怎麼準確，但仍然能制定出比較實用的曆法來。這是什麼原因呢？
對天要有認識，便要計算天的高度，於是便推動了直角三角形理論的發展，上面文字首先說天無法實測，於是便要一個媒介，媒介就是我們日常生活中最熟悉不過的直角三角形。這是經驗中獲得的，雖然簡單，但運用之妙，可謂變化無窮。就其所舉的例子，我們可以看出，古人對直角三角形的運用是非常熟練，樹立起來就測算高度，倒立可以測算深度，放平就可以測算長度。除了藉助它來計算長度距離，還可以用來計算面積，並將圓也聯繫起來。現在讀起來，仿佛看見古人侃侃而言，不覺相會於心，相忘於道術。這段文字中，還描述了乘法表，這表明四則運算已經成熟；勾股定理如今看似簡單，但隱藏在背後的卻是一個難題，這就是開放，雖然我們不能說那個時候普遍意識到開方知識，但在實際的運算中肯定要涉及到開方。他們能總結出這個定律，說明他們已經解決了這個難題，無論是理論上還是經驗上，他們似乎已經具有了相當成熟的數學思維。另外，這裏還隱含了比例問題，求天圓的過程中，這一點必不可少。就整部書的內容來看，裏面還包涵有大量的分數問題。就整部書而言，其知識的容量有點超出我的想像。（作者：李俊 ） |
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