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来源: 牧夫天文网 汪莱对球面三角形的解法及方程理论有独创。汪莱 （1768―1813年），字孝婴，号衡斋，安徽歙县人。博览群书，尤好数学，与焦循、李锐交好。嘉庆十年（1805年）时，3人恰都在扬州，终日切磋学问，人称“谈天三友”，所撰数学专著为《衡斋算学》7册。《衡斋遗书》9卷中迹有数学研究文章。
《衡斋算学》第一册讨论球面三角形的解法。第二册阐述勾股形已知面积及勾弦和求各数之法。第三册讨论在已知全弧通弦情况下求1/5弧通弦之法。第四册的前半部分仍讨论球面三球形解法，后半部分讨论《递兼数理》。第五册讨论二次方程、三次方程正极个数。第六册讨论在已知全弦通弦条件下解求1/3通弦之法。第七册专论方程有无正根的条件与解法。
汪氏对球面三角形的解法和方程理论的研究工作是有成绩的，而在方程论方面的贡献更是主要的。另外，在第四册的 《递兼数理》中，所论排列、组合的概念及排列数和组合数的计算法；在 《衡斋遗书》中之《参两算经》篇中所论二进制、三进制乃至九进制的概念与算法，均为中国数学中首次讨论的问题。开拓性研究成果于此可见。
李锐在数学领域的贡献并不逊色于在天文历法领域的成就。他的数学著作共4种： 《勾股算术细草》1卷、《方程新术草》1卷、《弧矢算术细草》1卷、《开方说》3卷。此外，李锐还撰《测圆海镜细草》，是为在四库馆员校订基础上，对李治《测圆海镜》重加详细校算订正之作，收在《知不足斋丛书》第二十集中。
李氏的《开方说》是他数学研究的代表作，是中国方程理论专著。在对李治、秦九韶等宋元数学家著作的整理过程中，李氏对方程论产生兴趣，而汪莱对方程正根个数的讨论，又推动了他深入研究。应该说，汪莱《衡斋算学》第五册和第七册是《开方说》形成的基础。李氏在方程论方面的贡献包括：第一，总结出数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列变化数或比此数少2，等于提出了方程正根个数判定的符号法则；第二，把正根以外适合方程之解称为“无数”，明确提出“凡无数必两，无一无数者”；第三，讨论了整数范围内二次方程与双二次方程无实根的判别条件；第四，引入负根和重根概念；第五，对于宋元时期方程变形法如倍根、缩根、减根、负根等变换，予以充实和完善；第六，首创“代开法”，即先求一根首位，继由变形方程求余位数字乃至余根。
李锐的成就在《续畴人传》中受到很高的评价。罗士琳评价“谈天三友”，称汪莱“期于引申古人所未言，故所论多创，创则或失于执”；称焦循“期于阐发古人所已言，故所论多因，因则或失于平”；惟李锐“兼二子之长，不执不平，于实事中匪特求是，尤复求精，此所以较胜于二子也”。 |
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