清朝數學家李善蘭的"李氏恆等式"獨領風騷（3）

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李善蘭生性落拓,潛心科學,淡於利祿。晚年官至三品，授戶部正郎、廣東司行走、總理各國事務衙門章京等職，但他從來沒有離開過同文館教學崗位，也沒有中斷過科學研究特別是數學研究工作。他的數學著作，除【則古昔齋算學】外,尚有【考數根法】、【粟布演草】、【測圓海鏡解】、【九容圖表】，而未刊行者，有【造整數勾股級數法】、【開方古義】、【群經算學考】、【代數難題解】等。
    李善蘭在數學研究方面的成就，主要有尖錐術、垛積術和素數論三項。    尖錐術理論主要見於【方圓闡幽】、【弧矢啟秘】、【對數探源】三種著作,成書年代約為1845年,當時解析幾何與微積分學尚未傳入中國。李善蘭創立的『尖錐』概念，是一種處理代數問題的幾何模型，他對『尖錐曲線』的描述實質上相當於給出了直線、拋物線、立方拋物線等方程□他創造的『尖錐求積術』。相當於冪函數的定積分公式和逐項積分法則□他用『分離元數法』獨立地得出了二項平方根的冪級數展開式□結合『尖錐求積術』，得到了的無窮級數表達式。

    各種三角函數和反三角函數的展開式，以及對數函數的展開式□在使用微積分方法處理數學問題方面取得了創造性的成就。垛積術理論主要見於【垛積比類】,寫於1859～1867年間，這是有關高階等差級數的著作。李善蘭從研究中國傳統的垛積問題入手，獲得了一些相當於現代組合數學中的成果。例如，『三角垛有積求高開方廉隅表』和『乘方垛各廉表』實質上就是組合數學中著名的第一種斯特林數和歐拉數。馳名中外的『李善蘭恆等式』自20世紀30年代以來，受到國際數學界的普遍關注和讚賞。可以認為，【垛積比類】是早期組合論的傑作。