第一章 周公问周天历度数安从出

昔者周公問於商高_{周公、商高，以及下文的榮方、陳子，皆假託的古代傳說中人物，未必真有其人其事。這是戰國秦漢間著作的常用手法}曰：『竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天曆度_{【易·繫辭下】：『古者包犧氏之王天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地。』此為古代流行的傳說。包犧又常寫作伏羲、庖犧，為傳說中三皇之一，相傳八卦也是他所創立}。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數安從出？』

白話翻譯
以前周公問商高說：聽說先生您很擅長數學，請問古時伏羲是如何確立周天曆法的。天沒有階梯可升，地不能用尺寸可以直接量得，不知基礎的天文地理數據從哪里得來的？

商高曰：『數之法，出於圓方。圓出於方，方出於矩_{矩，直到今天，中國的木工仍廣泛使用這一古老工具。在古代藝術形象中，伏羲手中常持此物，比如山東嘉祥東漢武梁祠畫像石、新疆吐魯番阿斯塔那唐墓等處的伏羲女媧交尾圖中，都是如此。矩的兩條直角邊，短的稱為勾，長的稱為股}。矩出於九九八十一_{意指矩中蘊含著乘法之理。故趙爽注稱：『九九者，乘除之原也。』由矩的兩條直角邊所構成的矩形面積，即此兩邊之長相乘而得的積}。故折矩，以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方之外，半其一矩。環而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩_{此處所謂『積矩』，指勾、股平方之和(3²+4²=25)。『兩矩共長』不能理解為兩直角三角形周長之和}。故禹之所以治天下者，此數之所生也_{誇張的說法。意指禹憑藉勾股之術設計、指導治水工程，而使天下大治。故趙爽注稱：『禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，釋昏墊之厄，使東注於海而無浸逆，乃勾股之所由生也。』如何巧妙利用矩這一工具以勾股術進行工程測算，下文商高陳述『用矩之道』時即論及}。』

白話翻譯
商高說：數學方法，都是來源於園和方的關係，我們所處的地球是園的，我們的整個天體的運行都是在做圓周運動，那麼天體任何時間所處的位置都可以用距離，高差，斜距來表示，斜距又等於兩直角邊的平方之和開方求得。圓周長也可以通過線段採用求極值的方式用來表示。舉個例子吧，一個四邊形，畫一條對角線，成為了兩個直角三角形，在直角三角形中的一條邊長等於3，另一條邊等於4，則斜邊長就等於5。用图形表示如下图。用公式表示就是直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，就有c²=a²+b²。大禹治水正是用的這個這個原理，就是確定一個水平面，根據這根水平面確定兩點之間的高差的方法。當然現代我們測量兩點之間的高差，採用的是同樣的方法。

備注
『數之法，出於圓方。圓出於方，方出於矩。矩出於九九八十一。』還可以理解為，數學原理可以通過方和園的相互轉化來進行計算的，比如一個方形，可以不斷的把角切割最後變成一個近似園。方形又可以轉化為三角形，通過三角形的關係就可以進行測量計算了。這個原理在後面的應用中得到了充分的體現。下面的『環矩以為圓，合矩以為方。』就已經進行了解釋。

句股圓方圖_{此五字是否為【周髀算經】原文，現已不可確知傳世各種版本中的圖很可能都是趙爽作注時所增繪。錢寶琮又據趙注重繪，有八幅之多。但實際上只需用第一幅即可清楚說明趙爽在其注文中對畢氏定理所作的證明。如圖2，設勾、股、弦之長依次為a、b、c，則整個大正方形面積為c²，中間小正方形面積為(b-a)²，四個直角三角形面積之和為2ab，於是有：c²=(b-a)²+2ab=a²+b²。對於此事，趙爽、甄鸞、李淳風等人作了大量附注和討論，繁瑣枝蔓，意義不大。但此處必須強調指出的是，上述趙爽的證明對任何比例的直角三角形都普遍適用，而【周髀算經】原書中則始終只停留在勾三、股四、弦五這一特例的表述上}
〔弦圖〕：弦實二十五朱及黃_朱實六黃實一

右圖左圖：