第二章 璇周四极

欲知北極樞，璿周四極。常以夏至夜半時北極南游所極，冬至夜半時北游所極，冬至日加酉之時西游所極，日加卯之時東游所極。此北極璿璣四游。正北極璿璣之中，正北天之中。正極之所游，冬至日加酉之時，立八尺表，以繩繫表顛_{顛，通巔，指八尺之表的頂端}，希望北極中大星_{北極為天空中假想的點，再選擇位於該點附近較亮的恒星作為北極星。由於歲差的作用，北極在天空中緩慢移動，約26000年而繞一周，因此歷代的北極星也就不會始終為同一顆恒星。這樣，此處『北極中大星』究竟為哪一顆星，就與【周髀算經】成書於什麼時代或其材料來自什麼時代這一問題密切相關了。據陳遵媯的意見，此『北極中大星』為今小熊座β星，也即古代中國所稱的『帝星』(見陳遵媯【中國天文學史】174—175頁)}，引繩致地而識之。又到旦，明日加卯之時，復引繩希望之，首及繩致地而識其端_{參見圖10，由於北極與北極星並不絕對重合，兩者間有一個角距離，因此北極星一晝夜間圍繞北極在天空中畫出一小圓。此小圓的半徑實即北極與北極星之間的角距}，相去二尺三寸。故東西極二萬三千里_{仍參見圖10，據【周髀算經】卷上所推證的『寸影千里』比例，得『極下璿璣』(即『北極璿璣』)直徑為23000里。這個數值帶有明顯的時代標誌因為此值顯然直接取決於當時北極與北極星的角距}，其兩端相去正東西。中折之以指表，正南北。加此時者，皆以漏揆度之_{漏，指刻漏，古代的計時裝置。此處的意思是，前述『加酉之時』、『加卯之時』等，都是用刻漏計量而得。由圖10可知，冬至日加酉之時(W点)和明日加卯之時(D点)在地上所作記號(『識』)依次為F、D兩點，此兩點的連線為正東西方向；在此兩點連線的中點B處，向北引B與表所在的C點之間的連線，即為正南北方向}。此東、西、南、北之時_{『此東西南北之時』句，各本皆同。但顧觀光認為『南北』二字是衍文，顯然無道理。從上下文看，『南北』當屬下句}。其繩致地所識，去表丈三寸，故天之中去周十萬三千里_{仍見圖10。據前『寸影千里』比例，得出周地距極下(即此處所雲『天中』，因【周髀算經】的整個宇宙都繞北極運轉和展開)103000里之值，即卷上圖6中的L值。這個值在卷上已提到過它的由來：『今立表高八尺，以望極，其勾一丈三寸，由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。』}。何以知其南北極之時？以冬至夜半北游所極也北過天中萬一千五百里，以夏至南游所極不及天中萬一千五百里。此皆以繩繫表顛而希望之，北極至地所識丈一尺四寸半，故去周十二萬四千五百里，過天中萬一千五百里；其南極至地所識九尺一寸半，故去周九萬一千五百里，其南不及天中萬一千五百里_{見圖11所示。與圖10相仿，圖中P點為北極。不過必須特別注意，此圖中極星所繞行的小圓與圖10中的有一些不同。在圖10中，北極星所繞小圓為它作周日拱極運動(因地球的自轉，所有恒星一晝夜間都呈現出繞北極一周的拱極視運動)而成，這在天文學上有著實際的觀測依據。而這一模式中，要想求得北極星南、北遊之極，按理應在某日(是否為冬至或夏至日，即使在【周髀算經】模型中也是完全無關緊要的)夜半和次日日中各『以繩系表顛而希望之』而在地上做出標記，但由於白天不可能看見恒星，故上述方案不可能實施。於是【周髀算經】假定北極星在冬至夜半遊至北端而夏至夜半游至南端，這是同樣合理的。確實也有實際的觀測依據，然而這點在【周髀算經】宇宙模型中卻反而講不通。依據【周髀算經】模型，任何一天的夜半，北極星都在同一處。而且，在該模型中，這個北極星畫出的小圓僅僅依據圖10所示的『東西遊』，實際上就足以推知了。因此，圖11中一丈一尺四寸半、九尺一寸半之類的資料，完全可以是編湊出來的，為的是再一次驗證『極下璿璣』之直徑為23000里。而有些學者據此去推算極星的位置和年代等等，恐怕是沒有意義的}。此璿璣四極南北過不及之法，東、西、南、北之正勾_{此處趙爽注云：『以表為股，以影為勾。影言正勾者，四方之影皆正而定也。』}。

白話意譯
那麼要想測得冬至日北半球照射不到太陽的圓圈的直徑，或者說是找到這個圓圈上的四個極點採用的是如下方法。我們觀測站的位置就是在冬至日光照射的極限位置上，而不是在北極點的極限點上，我們看到的北極星也是繞北極原點在作圓周運動(站在北極點上觀測北極星是不動的)，這是相對運動原理，實際是北極星不動，是我們在地球上的觀測點在作圓周運動。觀測方法是，以夏至夜半時北極星南遊所到達的極限點通過立竿在地面的投影點(眼睛、立竿頂、北極星三點一線)做一個標記，到了冬至日這一天的夜半時分北極星向北所到達的極限點通過立竿在地面的投影點做一個標記，冬至日加酉之時(下午6點)北極星向西所到達的極限點通過立竿在地面的投影點做一個標記，冬至日加卯之時(早晨6點)北極星向東所到達的極限點通過立竿在地面的投影點做一個標記。這個就是北極星旋轉在東西南北四個方向的四個極限點。這四個點東西兩點相連，南北兩點相連的交點與立竿頂點的連線的延長線正對的天空就是正北天的正中。這是一種觀測方法，因這種方法需要跨度半年時間。實際地球自轉是一個標準的圓周運動，冬至日加酉之時(下午6點)，立八尺的立竿，用繩線系竿頂，還是三點一線的方法向北極中大星(北極星)，引繩在地上端點得到一個位置點。第二天早晨6點鐘，同樣的方法得到一個位置點。這兩點相距二尺三寸。因此東西北極星經過的兩點相距23000里.取東西方向這兩點的正中間。根據東西方向這條線的中點畫垂直線，這就是正南北方向，同樣的距離也可以得到兩個點。時間記錄採用的是漏水計刻度的方法。也就是北極星所處東、西、南、北四方極點的時間。觀測如圖10。

周去極十萬三千里。日去人十六萬七千里。夏至去周一萬六千里。夏至日道徑二十三萬八千里，周七十一萬四千里。春、秋分日道徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。冬至日道徑四十七萬六千里，周一百四十二萬八千里。日光四極八十一萬里，周二百四十三萬里。從周南三十萬二千里。

白話意譯
上述觀測方法的基本原理是這樣的，前面的方法已經測量出北極星四極遊的圓圈的中心點，這個點距立竿的水準距離是1丈零3寸，所以天的中心北極星到周地觀測站的距離就是103000里。怎麼知道南游和北遊的極限的時間呢？是以以冬至日夜半(12點)北極星北遊能夠到達的極限位置也是北過天中11500里，所以夏至日南遊不能夠到達的極限位置也是不到天中11500里。這都是採用繩系立竿頂而三點一線的觀測方法而得，北極星北遊之極限位置時繩在地上的標記距表(立竿中心)1丈1尺4寸半，故去周地的距離是114500里，超過天中11500里；北極星南游之極限位置時繩在地上的標記距表(立竿中心)9尺1寸半，所以去周地的距離是91500里，南遊的極限位置不到天中11500里。這就是璿璣四個極限位置的南北方向超過或者的不及的觀測方法，取的都是東、西、南、北正方向。觀測如上圖11。

璿璣徑二萬三千里，周六萬九千里。此陽絕陰彰，故不生萬物_{此處趙爽注云：『春秋分謂之陰陽之中，而日光所照適至璿璣之徑，為陽絕陰彰，故萬物不復生也。』這也再次表明了此『極下璿璣』區域的特殊性，而這一點也只有在本書圖6所示的天地模式中方能講通}。其術曰，立正勾定之。以日始出，立表而識其晷。日入，復識其晷。晷之兩端相直者，正東西也。中折之指表者，正南北也_{自『其術曰』至『正南北也』一段話，與上下文全無關係，疑為錯簡或衍文}。極下不生萬物。何以知之？冬至之日去夏至十一萬九千里，萬物盡死；夏至之日去北極十一萬九千里，是以知極下不生萬物_{這裡的推論方法疑似錯誤。作者的推論方法是：夏至日下之地在冬至時遠離太陽119000里(僅在二維平面內考慮，未慮及天地相距八萬里的二維情形)，已經萬物盡死；則極下即使在夏至之日也遠離太陽119000里，自然萬物無生時。但是作者剛剛在前文說過，不生萬物的區域是直徑達23000里的『極下璿璣』，而不是極下一點；在這23000里直徑的圓形內，除面積為零的極下一點外，其全部面積在夏至日離太陽的距離都小於119000里。因此，嚴格地說，上述推論是不能成立的。然而也應該注意到，作者所推得的結論卻與事實相去不遠}。北極左右，夏有不釋之冰_{這一點確是北極附近的事實。在【周髀算經】的時代，迄今未見任何證據表明中國人有過北極探險的可能，因此【周髀算經】中關於北極地區『不生萬物』、『夏有不釋之冰』的描述，只能有如下兩個來源：或是作者純粹根據越向北方越冷的實際經驗推論而得，或是得之於外部世界關於地球寒熱五帶的知識這種知識至遲在西元前3世紀(相當於中國的戰國時代末期)古希臘的Eratosthenes的著作中已經具備。特別值得注意的是，對於北極附近『夏有不釋之冰』的描述，趙爽竟反而表示懷疑，此處其注稱：『冰凍不解，是以推之，夏至之日外衡之下為冬矣，萬物當死此日遠近為冬夏，非陰陽之氣，爽或疑焉。』這更證明這些知識對於漢代的中國學者而言仍是非常新奇的}。

白話意譯
上述方法測出的是此處地球的直徑，也就是冬至日日光所照極限點地球(北極星不動，地球在旋轉)的直徑23000里，周長69000里，在此往北的範圍內。太陽完全不能照射，完全是黑夜，因此萬物不生。
採用的是實測法，確定了東西南北方向，每天都是採用立竿定標的方法，觀測日出日落的時間，觀測日光影子的長短方向，詳細記錄，太陽升起的地方為正東方，太陽落下的地方為正西方。東西兩點連線中點的垂直線就是正南北方向。怎麼知道南北極下不生萬物？冬至日和夏至日太陽在南北方向相距119000里，冬天在周地觀測站我們就看到，冰天雪地，萬物都處於收藏的狀態，萬物都死了。到了夏至日太陽與地球的北極的距離也是119000里，所以也就知道地球北極極下不生萬物。當然知道了地球北極附近，即便是夏天，冰也是不化的，同理也就知道地球南極也是一個道理(通過測量日道的距離，判斷出南北極常年冰雪不化)。